Comment ramener une équation scalaire d'ordre 2 à un système d'ordre 1 ? | MetMat

Comment ramener une équation scalaire d'ordre 2 à un système d'ordre 1 ?

En posant $X=(y,y')^T$ et en écrivant le système associé

Réécrire une équation linéaire d'ordre 2 $y''+by'+cy=0$ comme un système linéaire $X'=AX$ d'ordre 1 de taille 2, pour pouvoir lui appliquer les techniques de diagonalisation.

L'objectif

Réécrire une équation linéaire d'ordre 2 $y''+by'+cy=0$ comme un système linéaire $X'=AX$ d'ordre 1 de taille 2, pour pouvoir lui appliquer les techniques de diagonalisation.

Le principe

Pour $y''+by'+cy=0$ (à coefficients constants), en posant $X(t)=\begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}$ , on a $X'(t)=\begin{pmatrix} y'(t) \\ y''(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y'(t) \\ -cy(t)-by'(t) \end{pmatrix}=AX(t)$ avec $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}$ .

La méthode

1
Je pose le vecteur d'état $X(t)=\begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}$ et je calcule sa dérivée $X'(t)=\begin{pmatrix} y'(t) \\ y''(t) \end{pmatrix}$ .
2
J'utilise l'équation $y''=-cy-by'$ pour exprimer la 2ème composante de $X'$ comme combinaison linéaire de $y$ et $y'$ , ce qui donne $X'(t)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}X(t)$ .
3
Je conclus que l'équation $y''+by'+cy=0$ équivaut au système $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}$ ; le polynôme caractéristique de $A$ vaut $\lambda^2+b\lambda+c$ , qui est l'équation caractéristique de l'équation d'ordre 2.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Ramener à un système d'ordre 1 l'équation $y''-3y'+2y=0$ .

Étape 1 —

Je pose le vecteur d'état

X(t)=\begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}

et je calcule sa dérivée

X'(t)=\begin{pmatrix} y'(t) \\ y''(t) \end{pmatrix}

Je pose $X(t)=\begin{pmatrix} y(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}$ donc $X'(t)=\begin{pmatrix} y'(t) \\ y''(t) \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

J'utilise l'équation

y''=-cy-by'

pour exprimer la 2ème composante de

X'

comme combinaison linéaire de

y

y'

, ce qui donne

X'(t)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}X(t)

L'équation donne $y''=3y'-2y$ , donc $X'(t)=\begin{pmatrix} y'(t) \\ 3y'(t)-2y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}X(t)$ .

Étape 3 —

Je conclus que l'équation

y''+by'+cy=0

équivaut au système

X'=AX

avec

A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -c & -b \end{pmatrix}

; le polynôme caractéristique de

A

vaut

\lambda^2+b\lambda+c

, qui est l'équation caractéristique de l'équation d'ordre 2.

L'équation équivaut à $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ , et $\det(A-\lambda I)=\lambda^2-3\lambda+2$ retrouve l'équation caractéristique.

$X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Ramener à un système d'ordre 1 l'équation $y''+4y=0$ (oscillateur).

Application autonome 1

Ramener à un système d'ordre 1 l'équation $y''+5y'+6y=0$ .

Application autonome 2

Ramener à un système d'ordre 1 l'équation $y'' - y = 0$ .

Application autonome 3

Ramener à un système d'ordre 1 l'équation $y'' - 2 y' + y = 0$ .

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En posant X=(y,y′)TX=(y,y')^TX=(y,y′)T et en écrivant le système associé

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $X=(y,y')^T$ et en écrivant le système associé