Comment déterminer le comportement asymptotique des trajectoires d'un système $X'=AX$ ? | MetMat

Comment déterminer le comportement asymptotique des trajectoires d'un système $X'=AX$ ?

En examinant le signe des valeurs propres de $A$

L'objectif

Décrire qualitativement le comportement des trajectoires $t\mapsto X(t)$ d'un système $X'=AX$ avec $A$ diagonalisable, lorsque $t\to+\infty$ .

Le principe

Si $A$ est diagonalisable de valeurs propres réelles $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ , alors $X(t)=\sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i t}V_i$ : chaque terme $e^{\lambda_i t}$ tend vers $0$ si $\lambda_i<0$ , vers $+\infty$ si $\lambda_i>0$ , et reste constant à $1$ si $\lambda_i=0$ .

La méthode

1
Je détermine les valeurs propres réelles $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ de $A$ (avec $A$ diagonalisable) et j'écris la solution générale $X(t)=\sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i t}V_i$ .
Comment déterminer le spectre (valeurs propres) d'une matrice carrée ?Voir
2
Pour chaque $i$ , j'examine le signe de $\lambda_i$ : $\lambda_i<0\Rightarrow e^{\lambda_i t}\xrightarrow[t\to+\infty]{} 0$ ; $\lambda_i>0\Rightarrow e^{\lambda_i t}\xrightarrow[t\to+\infty]{} +\infty$ ; $\lambda_i=0\Rightarrow e^{\lambda_i t}=1$ .
3
Je conclus : si toutes les $\lambda_i<0$ alors $X(t)\to 0$ (toutes les trajectoires convergent vers l'origine) ; s'il existe un $\lambda_i>0$ avec $c_i\neq 0$ , alors $\|X(t)\|\to+\infty$ ; sinon je décris le régime intermédiaire (solutions bornées non convergentes).

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Application guidée 1

Étudier le comportement asymptotique des solutions de $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ .

Application guidée 2

Étudier le comportement asymptotique de $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Étudier $X'=AX$ avec $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Étudier le comportement asymptotique des solutions de $X' = A X$ avec $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Étudier le comportement asymptotique de $X' = A X$ avec $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

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En examinant le signe des valeurs propres de AAA

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En examinant le signe des valeurs propres de $A$