Comment calculer $V(X_1+\dots+X_n)$ pour des variables aléatoires indépendantes ?

En appliquant $V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)$ sous l'hypothèse d'indépendance mutuelle

L'objectif

Calculer la variance d'une somme de variables aléatoires en sommant leurs variances, sous hypothèse d'indépendance mutuelle.

Le principe

Si $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes et admettent chacune un moment d'ordre $2$ , alors $V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)$ . Sans indépendance, l'égalité est en général fausse (il faut ajouter $2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ ).

La méthode

1
Je vérifie que les variables $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes et que chacune admet un moment d'ordre $2$ (donc une variance $V(X_i)$ ).
2
J'identifie chaque variance $V(X_i)$ (loi usuelle ou calcul $V(X_i)=E(X_i^2)-E(X_i)^2$ ).
3
J'applique $V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)$ et je calcule la somme pour obtenir une expression close.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En appliquant V ⁣(∑i=1nXi)=∑i=1nV(Xi)V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)V(∑i=1n​Xi​)=∑i=1n​V(Xi​) sous l'hypothèse d'indépendance mutuelle

Exemple corrigé

En appliquant $V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)$ sous l'hypothèse d'indépendance mutuelle