Comment utiliser la stabilité des lois binomiales et de Poisson par somme indépendante ? | MetMat

Comment utiliser la stabilité des lois binomiales et de Poisson par somme indépendante ?

En reconnaissant que $X_1+X_2\sim\mathcal{B}(n_1+n_2,p)$ ou $\sim\mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)$ pour des lois indépendantes

Identifier directement la loi d'une somme de variables binomiales (de même paramètre $p$ ) ou de Poisson indépendantes.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X\sim\mathcal{B}(10,\tfrac{1}{3})$ et $Y\sim\mathcal{B}(7,\tfrac{1}{3})$ indépendantes. Donner la loi de $X+Y$ puis calculer $P([X+Y=5])$ .

L'objectif

Identifier directement la loi d'une somme de variables binomiales (de même paramètre $p$ ) ou de Poisson indépendantes.

Le principe

Si $X_1\sim\mathcal{B}(n_1,p)$ et $X_2\sim\mathcal{B}(n_2,p)$ sont indépendantes (même $p$ ), alors $X_1+X_2\sim\mathcal{B}(n_1+n_2,p)$ . Si $X_1\sim\mathcal{P}(\lambda_1)$ et $X_2\sim\mathcal{P}(\lambda_2)$ sont indépendantes, alors $X_1+X_2\sim\mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)$ . Ces résultats se généralisent à $n$ variables par récurrence.

La méthode

1
J'identifie la loi de chaque variable et je vérifie l'hypothèse d'indépendance (mutuelle pour $n\geq 3$ ) ; pour la binomiale, je vérifie en plus que toutes les lois ont le même paramètre $p$ .
2
J'applique le théorème de stabilité : pour la binomiale, $\sum X_i\sim\mathcal{B}\!\left(\sum n_i,\,p\right)$ ; pour la Poisson, $\sum X_i\sim\mathcal{P}\!\left(\sum \lambda_i\right)$ .
3
J'utilise la loi obtenue pour calculer ce qui est demandé : espérance, variance, probabilités $P([S=k])$ , etc.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $X\sim\mathcal{B}(10,\tfrac{1}{3})$ et $Y\sim\mathcal{B}(7,\tfrac{1}{3})$ indépendantes. Donner la loi de $X+Y$ puis calculer $P([X+Y=5])$ .

Étape 1 —

J'identifie la loi de chaque variable et je vérifie l'hypothèse d'indépendance (mutuelle pour

n\geq 3

) ; pour la binomiale, je vérifie en plus que toutes les lois ont le même paramètre

p

$X$ et $Y$ sont indépendantes par hypothèse, et suivent toutes deux des lois binomiales de même paramètre $p=\tfrac{1}{3}$ .

Étape 2 —

J'applique le théorème de stabilité : pour la binomiale,

\sum X_i\sim\mathcal{B}\!\left(\sum n_i,\,p\right)

; pour la Poisson,

\sum X_i\sim\mathcal{P}\!\left(\sum \lambda_i\right)

Par stabilité de la binomiale : $X+Y\sim\mathcal{B}(10+7,\tfrac{1}{3})=\mathcal{B}(17,\tfrac{1}{3})$ .

Étape 3 —

J'utilise la loi obtenue pour calculer ce qui est demandé : espérance, variance, probabilités

P([S=k])

, etc.

On en déduit $P([X+Y=5])=\binom{17}{5}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)^{5}\!\left(\tfrac{2}{3}\right)^{12}=\dfrac{6188\cdot 2^{12}}{3^{17}}$ .

$X+Y\sim\mathcal{B}(17,\tfrac{1}{3})$ et $P([X+Y=5])=\binom{17}{5}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)^{5}\!\left(\tfrac{2}{3}\right)^{12}$ .

Application guidée

Soient $X\sim\mathcal{P}(2)$ et $Y\sim\mathcal{P}(3)$ indépendantes. Donner la loi de $X+Y$ puis calculer $P([X+Y\leq 1])$ .

Application autonome 1

Un standard téléphonique reçoit, chaque heure et de manière indépendante, $X_i$ appels où $X_i\sim\mathcal{P}(\lambda)$ pour $i\in\{1,\dots,24\}$ . Donner la loi du nombre total $T$ d'appels dans la journée, puis $E(T)$ et $V(T)$ .

Application autonome 2

Mise en garde : soient $X\sim\mathcal{B}(n_1,p_1)$ et $Y\sim\mathcal{B}(n_2,p_2)$ indépendantes avec $p_1\neq p_2$ . Que peut-on dire de la loi de $X+Y$ ?

Application autonome 3

Un site reçoit $X \sim \mathcal{P}(5)$ visites le matin et $Y \sim \mathcal{P}(3)$ visites l'après-midi, $X$ et $Y$ indépendantes. Calculer $P([X + Y \leq 2])$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En reconnaissant que X1+X2∼B(n1+n2,p)X_1+X_2\sim\mathcal{B}(n_1+n_2,p)X1​+X2​∼B(n1​+n2​,p) ou ∼P(λ1+λ2)\sim\mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)∼P(λ1​+λ2​) pour des lois indépendantes

Pour comprendre, fais des exercices !

En reconnaissant que $X_1+X_2\sim\mathcal{B}(n_1+n_2,p)$ ou $\sim\mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)$ pour des lois indépendantes