Comment calculer $E(X_1+\dots+X_n)$ ?

En appliquant la linéarité $E\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)$

L'objectif

Calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires discrètes en sommant leurs espérances individuelles.

Le principe

Si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables aléatoires discrètes admettant chacune une espérance, alors $X_1+\dots+X_n$ admet une espérance et $E\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)$ , sans hypothèse d'indépendance.

La méthode

1
Je vérifie que chaque $X_i$ admet une espérance $E(X_i)$ et je l'identifie (loi usuelle ou calcul direct $E(X_i)=\sum_{x}xP([X_i=x])$ ).
2
J'écris $S=\sum_{i=1}^{n} X_i$ et j'applique la linéarité de l'espérance : $E(S)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)$ , sans avoir besoin d'indépendance.
3
Je calcule la somme obtenue (souvent une somme géométrique, arithmétique ou télescopique) pour obtenir une expression close de $E(S)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En appliquant la linéarité E ⁣(∑i=1nXi)=∑i=1nE(Xi)E\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)E(∑i=1n​Xi​)=∑i=1n​E(Xi​)

Exemple corrigé

En appliquant la linéarité $E\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)$