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Comment utiliser les croissances comparées avec $o$ et $\sim$ ? | MetMat

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Comment utiliser les croissances comparées avec $o$ et $\sim$ ?

En réécrivant les hiérarchies $\ln \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!$ en termes de négligeabilité

L'objectif

Comparer asymptotiquement deux suites combinant logarithmes, puissances, exponentielles et factorielles.

Le principe

Pour tout $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ et tout $a > 1$ : $(\ln n)^\beta = o(n^\alpha)$ , $n^\alpha = o(a^n)$ et $a^n = o(n!)$ ; ces relations s'enchaînent par transitivité.

La méthode

1
J'identifie dans l'expression la nature de chaque terme : logarithme, puissance, exponentielle ou factorielle.
2
J'applique la hiérarchie $(\ln n)^\beta \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!$ pour établir les relations de négligeabilité entre les termes.
3
Je conclus avec la notation $o(\cdot)$ ou $\sim$ adaptée, en utilisant éventuellement la transitivité de $o$ .

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Application guidée 1

Comparer asymptotiquement $u_n = (\ln n)^3$ et $v_n = n$ .

Application guidée 2

Comparer $u_n = n^{100}$ et $v_n = e^n$ .

Application autonome 1

Comparer $u_n = 5^n$ et $v_n = n!$ .

Application autonome 2

Étudier $u_n = \dfrac{n^2 \ln n}{3^n}$ .

Application autonome 3

Étudier $u_n = \dfrac{(\ln n)^5 \cdot 2^n}{n!}$ .

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En réécrivant les hiérarchies ln⁡≪nα≪an≪n!\ln \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!ln≪nα≪an≪n! en termes de négligeabilité

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En réécrivant les hiérarchies $\ln \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!$ en termes de négligeabilité