En montrant que $u_n / v_n \to 1$

Démontrer l'équivalence $u_n \sim v_n$ via la définition par le quotient.

L'objectif

Démontrer l'équivalence $u_n \sim v_n$ via la définition par le quotient.

Le principe

Si $(v_n)$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, alors $u_n \sim v_n$ équivaut à $\dfrac{u_n}{v_n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 1$ .

La méthode

1
Je vérifie que $v_n \neq 0$ à partir d'un certain rang $n_0$ pour pouvoir calculer le quotient.
2
Je forme $\dfrac{u_n}{v_n}$ et je le simplifie en factorisant les termes dominants au numérateur et au dénominateur.
3
Je calcule la limite de $\dfrac{u_n}{v_n}$ et je vérifie qu'elle vaut $1$ .
4
Je conclus $u_n \sim v_n$ par définition de l'équivalence.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $u_n = 3n^2 + 5n + 1 \sim 3n^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

v_n \neq 0

à partir d'un certain rang

n_0

pour pouvoir calculer le quotient.

Pour $n \geq 1$ , $v_n = 3n^2 \neq 0$ , le quotient est bien défini.

Étape 2 —

Je forme

\dfrac{u_n}{v_n}

et je le simplifie en factorisant les termes dominants au numérateur et au dénominateur.

Je forme $\dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{3n^2 + 5n + 1}{3n^2} = 1 + \dfrac{5}{3n} + \dfrac{1}{3n^2}$ .

Étape 3 —

Je calcule la limite de

\dfrac{u_n}{v_n}

et je vérifie qu'elle vaut

1

Quand $n \to +\infty$ , $\dfrac{u_n}{v_n} \to 1$ .

Étape 4 —

Je conclus

u_n \sim v_n

par définition de l'équivalence.

Donc $3n^2 + 5n + 1 \sim 3n^2$ .

$3n^2 + 5n + 1 \sim 3n^2$ .

Application guidée

Montrer que $\sqrt{n^2+n} \sim n$ .

Application autonome 1

Montrer que $u_n = \ln(n+1) \sim \ln(n)$ .

Application autonome 2

Montrer que $u_n = \dfrac{2 n^2 + n}{n + 1} \sim 2 n$ .

Application autonome 3

Montrer que $u_n = \sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) \sim \dfrac{1}{n}$ .

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