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Comment étudier une série à termes quelconques (convergence absolue) ?

En montrant la convergence absolue ∑∣un∣\sum |u_n|

L'objectif

Démontrer la convergence d'une série à termes de signes quelconques en passant par la série des modules.

Le principe

Si ∑∣un∣\sum |u_n| converge alors ∑un\sum u_n converge ; on dit que ∑un\sum u_n converge absolument, et la convergence absolue implique la convergence simple.

La méthode
  1. 1
    Je forme la série des modules ∑∣un∣\sum |u_n|, qui est à termes positifs.
  2. 2
    J'étudie la nature de ∑∣un∣\sum |u_n| par les méthodes de comparaison (majoration, équivalent, négligeabilité, Riemann).
  3. 3
    Si ∑∣un∣\sum |u_n| converge, je conclus à la convergence absolue, donc à la convergence de ∑un\sum u_n.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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