Comment montrer la convergence d'une série à termes positifs par comparaison ?

En utilisant $u_n = o(v_n)$ ou $u_n \sim v_n$ avec $\sum v_n$ convergente

L'objectif

Démontrer la convergence de $\sum u_n$ via une comparaison asymptotique avec une série de référence convergente.

Le principe

Pour des suites positives à partir d'un certain rang : si $u_n = o(v_n)$ ou $u_n \sim v_n$ et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge ; pour $\sim$ , les deux séries sont en outre de même nature.

La méthode

1
Je vérifie que $u_n \geq 0$ et $v_n \geq 0$ à partir d'un certain rang (hypothèse fondamentale).
2
Je cherche une suite de référence $(v_n)$ telle que $u_n \sim v_n$ ou $u_n = o(v_n)$ , en factorisant le terme dominant ou via croissances comparées.
3
Je justifie la convergence de $\sum v_n$ (série de Riemann d'exposant $> 1$ , géométrique de raison dans $]-1, 1[$ , etc.).
4
Je conclus à la convergence de $\sum u_n$ par comparaison asymptotique des séries à termes positifs.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En utilisant un=o(vn)u_n = o(v_n)un​=o(vn​) ou un∼vnu_n \sim v_nun​∼vn​ avec ∑vn\sum v_n∑vn​ convergente

Exemple corrigé

En utilisant $u_n = o(v_n)$ ou $u_n \sim v_n$ avec $\sum v_n$ convergente