Comment montrer la convergence d'une série à termes positifs par comparaison ?

En majorant $u_n$ par $v_n$ avec $\sum v_n$ convergente

L'objectif

Démontrer la convergence de $\sum u_n$ en exhibant une série majorante convergente.

Le principe

Si $0 \leq u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge ; les hypothèses de positivité sont indispensables.

La méthode

1
Je vérifie que $u_n \geq 0$ pour $n$ assez grand (hypothèse cruciale du théorème de comparaison).
2
Je cherche une suite $(v_n)$ positive telle que $u_n \leq v_n$ pour $n$ assez grand, et telle que la nature de $\sum v_n$ est connue.
3
Je justifie la convergence de $\sum v_n$ (série géométrique, série de Riemann, etc.).
4
Je conclus à la convergence de $\sum u_n$ par le théorème de comparaison des séries à termes positifs.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En majorant unu_nun​ par vnv_nvn​ avec ∑vn\sum v_n∑vn​ convergente

Exemple corrigé

En majorant $u_n$ par $v_n$ avec $\sum v_n$ convergente