Comment montrer qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ ? | MetMat

Comment montrer qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ ?

En montrant que $f(I) \subset I$ par étude des variations

Établir qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ pour assurer que la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ reste dans $I$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon x \mapsto \sqrt{x+2}$ . Montrer que $I = [0, 2]$ est stable par $f$ .

L'objectif

Établir qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ pour assurer que la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ reste dans $I$ .

Le principe

Si $f$ est continue et monotone sur un intervalle $I$ , alors $f(I)$ est un intervalle dont les bornes sont images des bornes de $I$ ; il suffit alors de vérifier que ces bornes restent dans $I$ .

La méthode

1
Je calcule $f'(x)$ et j'étudie son signe sur $I$ pour déterminer la monotonie de $f$ sur $I$ .
2
Je dresse le tableau de variations de $f$ sur $I$ pour en déduire l'intervalle image $f(I)$ .
3
Je vérifie l'inclusion $f(I) \subset I$ en comparant les bornes de $f(I)$ à celles de $I$ , puis je conclus que $I$ est stable par $f$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f \colon x \mapsto \sqrt{x+2}$ . Montrer que $I = [0, 2]$ est stable par $f$ .

Étape 1 —

Je calcule

f'(x)

et j'étudie son signe sur

I

pour déterminer la monotonie de

f

sur

I

Pour $x \in [0, 2]$ , $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $[0, 2]$ .

Étape 2 —

Je dresse le tableau de variations de

f

sur

I

pour en déduire l'intervalle image

f(I)

Comme $f$ est continue et croissante sur $[0, 2]$ , on a $f([0, 2]) = [f(0), f(2)] = [\sqrt{2}, 2]$ .

Étape 3 —

Je vérifie l'inclusion

f(I) \subset I

en comparant les bornes de

f(I)

à celles de

I

, puis je conclus que

I

est stable par

f

Comme $\sqrt{2} \geq 0$ et $2 \leq 2$ , on a $[\sqrt{2}, 2] \subset [0, 2]$ , donc $I = [0, 2]$ est stable par $f$ .

$I = [0, 2]$ est stable par $f$ .

Application guidée

Soit $f \colon x \mapsto \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)$ . Montrer que $I = [\sqrt{2}, +\infty[$ est stable par $f$ .

Application autonome 1

Soit $f \colon x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ . Montrer que $I = [0, 1]$ est stable par $f$ .

Application autonome 2

Soit $f \colon x \mapsto \dfrac{x}{2} + 1$ . Montrer que $I = [0, 2]$ est stable par $f$ .

Application autonome 3

Soit $f \colon x \mapsto \ln(1 + x)$ . Montrer que $I = [0, 1]$ est stable par $f$ .

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En montrant que f(I)⊂If(I) \subset If(I)⊂I par étude des variations

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant que $f(I) \subset I$ par étude des variations