Comment illustrer le comportement de $(u_n)$ avec une représentation Python ? | MetMat

Comment illustrer le comportement de $(u_n)$ avec une représentation Python ?

En traçant le graphe escalier/toile d'araignée avec matplotlib

Approfondissement — Visualiser graphiquement le comportement d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ via matplotlib pour conjecturer convergence et limite.

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

L'objectif

Approfondissement — Visualiser graphiquement le comportement d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ via matplotlib pour conjecturer convergence et limite.

Le principe

Sur un même graphique, on trace la courbe $y = f(x)$ et la première bissectrice $y = x$ ; les segments verticaux puis horizontaux successifs (toile d'araignée) reliant $(u_n, u_n) \to (u_n, u_{n+1}) \to (u_{n+1}, u_{n+1})$ visualisent la dynamique.

La méthode

1
J'importe numpy et matplotlib.pyplot, je définis la fonction f en Python et je choisis $u_0$ ainsi que le nombre $N$ d'itérations.
2
Je trace sur un même graphique la courbe $y = f(x)$ et la droite $y = x$ sur un intervalle adapté.
3
Je calcule les premiers termes de la suite par une boucle for, puis je trace les segments de la toile d'araignée : vertical de $(u_n, u_n)$ à $(u_n, u_{n+1})$ , horizontal de $(u_n, u_{n+1})$ à $(u_{n+1}, u_{n+1})$ .
4
J'affiche le graphique avec plt.show() et je conjecture la limite à la lecture du point d'accumulation.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Tracer la toile d'araignée pour $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ , sur 10 itérations.

Étape 1 —

J'importe numpy et matplotlib.pyplot, je définis la fonction f en Python et je choisis

u_0

ainsi que le nombre

N

d'itérations.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f = lambda x: np.sqrt(x + 2)
u0 = 0
N = 10

Étape 2 —

Je trace sur un même graphique la courbe

y = f(x)

et la droite

y = x

sur un intervalle adapté.

x = np.linspace(0, 2.5, 200)
plt.plot(x, f(x), label='y = f(x)')
plt.plot(x, x, label='y = x')

Étape 3 —

Je calcule les premiers termes de la suite par une boucle for, puis je trace les segments de la toile d'araignée : vertical de

(u_n, u_n)

(u_n, u_{n+1})

, horizontal de

(u_n, u_{n+1})

(u_{n+1}, u_{n+1})

u = u0
for n in range(N):
    v = f(u)
    plt.plot([u, u], [u, v], 'g')   # vertical
    plt.plot([u, v], [v, v], 'g')   # horizontal
    u = v

Étape 4 —

J'affiche le graphique avec plt.show() et je conjecture la limite à la lecture du point d'accumulation.

plt.legend(); plt.grid(); plt.show()

La toile d'araignée converge visiblement vers le point fixe $(2, 2)$ , donc on conjecture $\lim u_n = 2$ .

Conjecture : $\lim u_n = 2$ (point fixe attractif).

Application guidée

Tracer la toile d'araignée pour $u_0 = 0{,}5$ et $u_{n+1} = \mathrm{e}^{-u_n}$ , sur 15 itérations.

Application autonome 1

Tracer simplement les premiers termes (graphe escalier) pour $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}(u_n + 2/u_n)$ , sur 8 itérations.

Application autonome 2

Tracer la toile d'araignée pour $u_0 = 2$ et $u_{n + 1} = \dfrac{u_n + 3}{u_n + 1}$ , sur $10$ itérations.

Application autonome 3

Tracer la toile d'araignée pour $u_0 = 0{,}1$ et $u_{n + 1} = 3{,}5\,u_n(1 - u_n)$ sur $30$ itérations (suite logistique).

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