En résolvant l'équation $f(\ell) = \ell$

L'objectif

Déterminer les valeurs candidates pour la limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ en cherchant les points fixes de $f$ .

Le principe

Un réel $\ell$ est un point fixe de $f$ si et seulement si $f(\ell) = \ell$ : il s'agit donc de résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'ensemble de définition pertinent.

La méthode

1
Je pose l'équation $f(x) = x$ sur le domaine d'étude $D$ pertinent (souvent un intervalle stable par $f$ ).
2
Je résous cette équation par les techniques algébriques adaptées (factorisation, équation polynomiale, étude d'une fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - x$ ).
3
Je conclus en listant tous les points fixes obtenus, en indiquant ceux qui appartiennent à l'intervalle d'étude.

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Application guidée 1

Déterminer les points fixes de $f \colon x \mapsto \sqrt{x+2}$ sur $[0, +\infty[$ .

Application guidée 2

Déterminer les points fixes de $f \colon x \mapsto \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{3}{x}\right)$ sur $]0, +\infty[$ .

Application autonome 1

Déterminer les points fixes de $f \colon x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Déterminer les points fixes de $f : x \mapsto \dfrac{x + 3}{x + 1}$ sur $]0, +\infty[$ .

Application autonome 3

Déterminer les points fixes de $f : x \mapsto \dfrac{x^2 + 2}{3}$ sur $\mathbb{R}$ .

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En résolvant l'équation f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ellf(ℓ)=ℓ

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En résolvant l'équation $f(\ell) = \ell$