Comment déterminer la limite éventuelle d'une suite récurrente convergente ? | MetMat

Comment déterminer la limite éventuelle d'une suite récurrente convergente ?

En appliquant le théorème : si $u_n \to \ell$ et $f$ continue en $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$

L'objectif

Déterminer la valeur de la limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ supposée convergente.

Le principe

Théorème (BO 2021) : si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$ , c'est-à-dire $f(\ell) = \ell$ .

La méthode

1
Je vérifie que les hypothèses sont satisfaites : $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ (admis ou démontré), et $f$ est continue sur l'intervalle contenant $\ell$ .
2
Je passe à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ : par continuité de $f$ en $\ell$ , $\lim f(u_n) = f(\ell)$ , donc $\ell = f(\ell)$ .
3
Je résous l'équation $f(\ell) = \ell$ et je sélectionne la solution compatible avec les contraintes (intervalle stable, signe, valeurs des premiers termes).
Comment déterminer les points fixes de $f$ ?Voir
4
Je conclus en donnant la valeur de la limite $\ell$ .

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Application guidée 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . On admet que $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ . Déterminer sa limite.

Application guidée 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$ . On admet que $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite.

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{u_n + 2}$ . On admet que $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite.

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1 + u_n}{2}$ . On admet que $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite.

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 u_n}$ . On admet que $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite.

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En appliquant le théorème : si un→ℓu_n \to \ellun​→ℓ et fff continue en ℓ\ellℓ, alors ℓ\ellℓ est un point fixe de fff

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En appliquant le théorème : si $u_n \to \ell$ et $f$ continue en $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$