Comment déterminer la limite éventuelle d'une suite récurrente convergente ? | MetMat

Comment déterminer la limite éventuelle d'une suite récurrente convergente ?

En appliquant le théorème : si $u_n \to \ell$ et $f$ continue en $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$

Déterminer la valeur de la limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ supposée convergente.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . On admet que $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ . Déterminer sa limite.

L'objectif

Déterminer la valeur de la limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ supposée convergente.

Le principe

Théorème (BO 2021) : si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$ , c'est-à-dire $f(\ell) = \ell$ .

La méthode

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Je vérifie que les hypothèses sont satisfaites : $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ (admis ou démontré), et $f$ est continue sur l'intervalle contenant $\ell$ .
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Je passe à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ : par continuité de $f$ en $\ell$ , $\lim f(u_n) = f(\ell)$ , donc $\ell = f(\ell)$ .
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Je résous l'équation $f(\ell) = \ell$ et je sélectionne la solution compatible avec les contraintes (intervalle stable, signe, valeurs des premiers termes).
Comment déterminer les points fixes de $f$ ?Voir
4
Je conclus en donnant la valeur de la limite $\ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . On admet que $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ . Déterminer sa limite.

Étape 1 —

Je vérifie que les hypothèses sont satisfaites :

(u_n)

converge vers un réel

\ell

(admis ou démontré), et

f

est continue sur l'intervalle contenant

\ell

$(u_n)$ est croissante et majorée donc converge vers un réel $\ell$ . La fonction $f \colon x \mapsto \sqrt{x+2}$ est continue sur $[0, 2]$ qui contient $\ell$ (car $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$ ).

Étape 2 —

Je passe à la limite dans la relation

u_{n+1} = f(u_n)

: par continuité de

f

\ell

\lim f(u_n) = f(\ell)

, donc

\ell = f(\ell)

Par passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ et continuité de $f$ en $\ell$ , on obtient $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ .

Étape 3 —

Je résous l'équation

f(\ell) = \ell

et je sélectionne la solution compatible avec les contraintes (intervalle stable, signe, valeurs des premiers termes).

L'équation $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ avec $\ell \geq 0$ donne $\ell^2 = \ell + 2$ , soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ , d'où $\ell = 2$ ou $\ell = -1$ . Comme $\ell \geq 0$ , on garde $\ell = 2$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant la valeur de la limite

\ell

$\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ .

$\lim u_n = 2$

Application guidée

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$ . On admet que $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite.

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{u_n + 2}$ . On admet que $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite.

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1 + u_n}{2}$ . On admet que $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite.

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 u_n}$ . On admet que $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant le théorème : si un→ℓu_n \to \ellun​→ℓ et fff continue en ℓ\ellℓ, alors ℓ\ellℓ est un point fixe de fff

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant le théorème : si $u_n \to \ell$ et $f$ continue en $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$