Comment représenter un nuage de points et le point moyen $(\bar{x},\bar{y})$ ? | MetMat

Comment représenter un nuage de points et le point moyen $(\bar{x},\bar{y})$ ?

En traçant les points $(x_i,y_i)$ et en plaçant $(\bar{x},\bar{y})$

Représenter graphiquement une série statistique double $(x_i,y_i)_{1\le i\le n}$ et y faire apparaître son point moyen.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour 5 années, on relève le taux de croissance du PIB $x_i$ (en %) et la variation du taux de chômage $y_i$ (en points) : $(1,0{,}5)$ , $(2,0{,}1)$ , $(3,-0{,}3)$ , $(4,-0{,}7)$ , $(5,-1{,}1)$ . Représenter le nuage et placer le point moyen.

L'objectif

Représenter graphiquement une série statistique double $(x_i,y_i)_{1\le i\le n}$ et y faire apparaître son point moyen.

Le principe

Le point moyen $G=(\bar{x},\bar{y})$ avec $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ et $\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$ est le centre de gravité du nuage et appartient à toute droite de régression.

La méthode

1
Je choisis un repère orthogonal adapté en plaçant la variable explicative $x$ en abscisse et la variable expliquée $y$ en ordonnée, avec des échelles couvrant toutes les observations.
2
Je place chaque couple d'observations $(x_i,y_i)$ comme un point du plan, ce qui constitue le nuage.
3
Je calcule $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ et $\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$ , puis je place le point moyen $G=(\bar{x},\bar{y})$ et j'observe la forme générale du nuage (alignement, dispersion, tendance).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je choisis un repère orthogonal adapté en plaçant la variable explicative

x

en abscisse et la variable expliquée

y

en ordonnée, avec des échelles couvrant toutes les observations.

Je trace un repère avec $x\in[0,6]$ (croissance en %) en abscisse et $y\in[-1{,}5,1]$ (variation du chômage) en ordonnée.

Étape 2 —

Je place chaque couple d'observations

(x_i,y_i)

comme un point du plan, ce qui constitue le nuage.

Je place les 5 points $(1;0{,}5)$ , $(2;0{,}1)$ , $(3;-0{,}3)$ , $(4;-0{,}7)$ , $(5;-1{,}1)$ .

Étape 3 —

Je calcule

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i

, puis je place le point moyen

G=(\bar{x},\bar{y})

et j'observe la forme générale du nuage (alignement, dispersion, tendance).

Je calcule $\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$ et $\bar{y}=\frac{0{,}5+0{,}1-0{,}3-0{,}7-1{,}1}{5}=-0{,}3$ , puis je place $G=(3;-0{,}3)$ . Le nuage est sensiblement aligné sur une droite décroissante (loi d'Okun).

Point moyen $G=(3;-0{,}3)$ , nuage globalement aligné en pente négative.

Application guidée

On observe pour 4 salariés l'ancienneté $x_i$ (années) et le salaire mensuel $y_i$ (k\text{€}) : $(1,1{,}8)$ , $(3,2{,}2)$ , $(5,2{,}6)$ , $(7,3{,}0)$ . Représenter le nuage et son point moyen.

Application autonome 1

Pour 6 pays, on relève le revenu par habitant $x_i$ (k\text{€}) et l'espérance de vie $y_i$ (ans) : $(10,68)$ , $(20,73)$ , $(25,76)$ , $(35,79)$ , $(40,80)$ , $(50,82)$ . Tracer le nuage et placer $G$ .

Application autonome 2

Pour $5$ magasins, on relève la surface $x_i$ (m $^2$ ) et le chiffre d'affaires mensuel $y_i$ (k\text{€}) : $(100, 20)$ , $(150, 28)$ , $(200, 35)$ , $(250, 40)$ , $(300, 50)$ . Représenter le nuage et son point moyen.

Application autonome 3

Pour $4$ trimestres, on relève le taux d'intérêt $x_i$ ( $\%$ ) et le volume de crédit distribué $y_i$ (Md\text{€}) : $(1, 12)$ , $(2, 10)$ , $(3, 8)$ , $(4, 6)$ . Représenter le nuage et placer le point moyen.

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En traçant les points (xi,yi)(x_i,y_i)(xi​,yi​) et en plaçant (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})(xˉ,yˉ​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En traçant les points $(x_i,y_i)$ et en plaçant $(\bar{x},\bar{y})$