En diagonalisant $A$ et en déduisant l'expression $X_n = A^n X_0$

Soit $(u_n)$, $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$, $v_0 = 0$, $u_{n+1} = u_n + 2 v_n$, $v_{n+1} = 2 u_n + v_n$. Donner une expression de $u_n$ et $v_n$.

Soit $(a_n), (b_n)$ avec $a_0 = 2$, $b_0 = 1$, $a_{n+1} = 2 a_n$, $b_{n+1} = 5 b_n$. Donner $a_n$, $b_n$.

Soit $X_{n+1} = A X_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$ et $X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Étudier la limite de $X_n$.

Soient $(u_n), (v_n)$ définies par $u_0 = 1$, $v_0 = 2$, $u_{n+1} = 3 u_n + v_n$, $v_{n+1} = u_n + 3 v_n$. Donner une expression de $u_n$ et $v_n$.

Soient $(a_n), (b_n)$ définies par $a_0 = 1$, $b_0 = 0$, $a_{n+1} = 2 a_n - b_n$, $b_{n+1} = -a_n + 2 b_n$. Donner une expression de $a_n$ et $b_n$.