En cherchant les $\lambda$ tels que $A - \lambda I_n$ ne soit pas inversible (déterminant nul ou rang $< n$ )

Trouver l'ensemble $\mathrm{Sp}(A)$ des valeurs propres d'une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer le spectre de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Trouver l'ensemble $\mathrm{Sp}(A)$ des valeurs propres d'une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Le principe

Un scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$ est valeur propre de $A$ si et seulement si la matrice $A - \lambda I_n$ n'est pas inversible, ce qui se traduit par $\det(A - \lambda I_n) = 0$ ou de façon équivalente $\mathrm{rg}(A - \lambda I_n) < n$ .

La méthode

1
Je pose la matrice $A - \lambda I_n$ avec $\lambda$ paramètre réel.
2
Je calcule $\det(A - \lambda I_n)$ (ou j'étudie son rang en effectuant des opérations sur les lignes/colonnes).
3
Je résous l'équation $\det(A - \lambda I_n) = 0$ d'inconnue $\lambda$ .
4
Je conclus en donnant $\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer le spectre de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je pose la matrice

A - \lambda I_n

avec

\lambda

paramètre réel.

On considère $A - \lambda I_2 = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je calcule

\det(A - \lambda I_n)

(ou j'étudie son rang en effectuant des opérations sur les lignes/colonnes).

$\det(A - \lambda I_2) = (2-\lambda)(3-\lambda) - 0 = (2-\lambda)(3-\lambda)$ .

Étape 3 —

Je résous l'équation

\det(A - \lambda I_n) = 0

d'inconnue

\lambda

L'équation $(2-\lambda)(3-\lambda) = 0$ donne $\lambda = 2$ ou $\lambda = 3$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant

\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}

$\mathrm{Sp}(A) = \{2, 3\}$ .

Application guidée

Déterminer le spectre de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Déterminer le spectre de $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Déterminer le spectre de $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ via l'étude du rang.

Application autonome 3

Déterminer le spectre de $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En cherchant les λ\lambdaλ tels que A−λInA - \lambda I_nA−λIn​ ne soit pas inversible (déterminant nul ou rang <n< n<n)

Pour comprendre, fais des exercices !

En cherchant les $\lambda$ tels que $A - \lambda I_n$ ne soit pas inversible (déterminant nul ou rang $< n$ )