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Comment déterminer le spectre (valeurs propres) d'une matrice carrée ?

En cherchant les λ\lambda tels que A−λInA - \lambda I_n ne soit pas inversible (déterminant nul ou rang <n< n)

L'objectif

Trouver l'ensemble Sp(A)\mathrm{Sp}(A) des valeurs propres d'une matrice carrée A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

Le principe

Un scalaire λ∈R\lambda \in \mathbb{R} est valeur propre de AA si et seulement si la matrice A−λInA - \lambda I_n n'est pas inversible, ce qui se traduit par det⁡(A−λIn)=0\det(A - \lambda I_n) = 0 ou de façon équivalente rg(A−λIn)<n\mathrm{rg}(A - \lambda I_n) < n.

La méthode
  1. 1
    Je pose la matrice A−λInA - \lambda I_n avec λ\lambda paramètre réel.
  2. 2
    Je calcule det⁡(A−λIn)\det(A - \lambda I_n) (ou j'étudie son rang en effectuant des opérations sur les lignes/colonnes).
  3. 3
    Je résous l'équation det⁡(A−λIn)=0\det(A - \lambda I_n) = 0 d'inconnue λ\lambda.
  4. 4
    Je conclus en donnant Sp(A)={λ1,…,λp}\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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