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Comment déterminer un sous-espace propre associé à une valeur propre ?

En résolvant le système (A−λIn)X=0(A - \lambda I_n) X = 0 et en exhibant une base

L'objectif

Déterminer le sous-espace propre Eλ(A)={X∈Mn,1(R)∣AX=λX}E_\lambda(A) = \{X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \mid AX = \lambda X\} et en donner une base.

Le principe

Le sous-espace propre associé à λ\lambda est Eλ(A)=ker⁡(A−λIn)E_\lambda(A) = \ker(A - \lambda I_n) : on résout donc le système homogène (A−λIn)X=0(A - \lambda I_n) X = 0 pour décrire l'ensemble de ses solutions.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie d'abord que λ\lambda est bien valeur propre de AA (sinon Eλ(A)={0}E_\lambda(A) = \{0\}).
    Voir
  2. 2
    Je pose X = $$\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$ et j'écris le système (A−λIn)X=0(A - \lambda I_n) X = 0.
  3. 3
    Je résous ce système linéaire homogène (méthode du pivot ou substitution) en exprimant les inconnues en fonction de paramètres libres.
  4. 4
    Je conclus en donnant une base de Eλ(A)E_\lambda(A) et sa dimension.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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