Comment calculer une puissance n-ième d'une matrice non diagonalisable via la formule du binôme ? | MetMat

Comment calculer une puissance n-ième d'une matrice non diagonalisable via la formule du binôme ?

En décomposant $A = D + N$ avec $D, N$ qui commutent et $N$ nilpotente, puis en appliquant la formule du binôme

Calculer $A^n$ pour une matrice non diagonalisable, à l'aide d'une décomposition $A = D + N$ adaptée.

L'objectif

Calculer $A^n$ pour une matrice non diagonalisable, à l'aide d'une décomposition $A = D + N$ adaptée.

Le principe

La formule du binôme de Newton s'applique aux matrices qui commutent : si $D N = N D$ , alors $A^n = (D + N)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} D^{n-k} N^k$ ; lorsque $N$ est nilpotente d'indice $p$ (i.e. $N^p = 0$ ), la somme se réduit à au plus $p$ termes.

La méthode

1
J'écris $A = D + N$ avec $D$ simple à puissancer (souvent un multiple de $I_n$ ) et $N$ une matrice dont je calcule $N^2, N^3, \dots$ pour vérifier la nilpotence.
2
Je vérifie l'hypothèse cruciale $D N = N D$ par calcul direct ; sans cette commutation la formule du binôme est inapplicable.
3
J'applique la formule du binôme : $A^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} D^{n-k} N^k$ , et je tronque la somme aux indices $k$ tels que $N^k \neq 0$ .
4
Je calcule explicitement chaque $D^{n-k}$ et $N^k$ , puis j'écris la matrice $A^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $A^n$ pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ( $A$ n'est pas diagonalisable).

Étape 1 —

J'écris

A = D + N

avec

D

simple à puissancer (souvent un multiple de

I_n

) et

N

une matrice dont je calcule

N^2, N^3, \dots

pour vérifier la nilpotence.

On écrit $A = 2 I_2 + N$ avec $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ; on calcule $N^2 = 0$ , donc $N$ est nilpotente d'indice $2$ .

Étape 2 —

Je vérifie l'hypothèse cruciale

D N = N D

par calcul direct ; sans cette commutation la formule du binôme est inapplicable.

$2 I_2$ commute avec toute matrice (donc en particulier avec $N$ ) : la formule du binôme s'applique.

Étape 3 —

J'applique la formule du binôme :

A^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} D^{n-k} N^k

, et je tronque la somme aux indices

k

tels que

N^k \neq 0

$A^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2 I_2)^{n-k} N^k = (2 I_2)^n + n (2 I_2)^{n-1} N$ (les termes $k \geq 2$ sont nuls).

Étape 4 —

Je calcule explicitement chaque

D^{n-k}

N^k

, puis j'écris la matrice

A^n

$A^n = 2^n I_2 + n \cdot 2^{n-1} N = \begin{pmatrix} 2^n & n \cdot 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ .

$A^n = \begin{pmatrix} 2^n & n \cdot 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Calculer $A^n$ pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Calculer $A^n$ pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Calculer $A^n$ pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Calculer $A^n$ pour $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

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En décomposant A=D+NA = D + NA=D+N avec D,ND, ND,N qui commutent et NNN nilpotente, puis en appliquant la formule du binôme

Pour comprendre, fais des exercices !

En décomposant $A = D + N$ avec $D, N$ qui commutent et $N$ nilpotente, puis en appliquant la formule du binôme