Comment exploiter un polynôme annulateur pour trouver les valeurs propres possibles ? | MetMat

Comment exploiter un polynôme annulateur pour trouver les valeurs propres possibles ?

En utilisant que toute valeur propre est racine du polynôme annulateur (résultat admis au BO)

Déterminer le spectre de $A$ à partir d'une relation polynomiale satisfaite par $A$ .

L'objectif

Déterminer le spectre de $A$ à partir d'une relation polynomiale satisfaite par $A$ .

Le principe

Si $Q$ est un polynôme tel que $Q(A) = 0$ , alors toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$ (résultat admis au BO) ; on obtient ainsi une liste finie de candidats à tester.

La méthode

1
Je vérifie l'existence d'un polynôme annulateur $Q$ : soit l'énoncé le donne, soit je calcule $A^2, A^3, \dots$ pour exhiber une relation.
2
Je détermine les racines réelles de $Q$ : ce sont les seules valeurs propres possibles de $A$ .
3
Pour chaque racine candidate $\lambda$ , je teste si $\lambda$ est effectivement valeur propre en vérifiant que $A - \lambda I_n$ n'est pas inversible (ou que $E_\lambda(A) \neq \{0\}$ ).
Comment déterminer un sous-espace propre associé à une valeur propre ?Voir
4
Je conclus en énonçant $\mathrm{Sp}(A)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2 - 5A + 6 I_n = 0$ . Quelles sont les valeurs propres possibles de $A$ ?

Étape 1 —

Je vérifie l'existence d'un polynôme annulateur

Q

: soit l'énoncé le donne, soit je calcule

A^2, A^3, \dots

pour exhiber une relation.

Le polynôme $Q(X) = X^2 - 5X + 6$ annule $A$ .

Étape 2 —

Je détermine les racines réelles de

Q

: ce sont les seules valeurs propres possibles de

A

$Q(X) = (X-2)(X-3)$ , donc les racines sont $2$ et $3$ .

Étape 3 —

Pour chaque racine candidate

\lambda

, je teste si

\lambda

est effectivement valeur propre en vérifiant que

A - \lambda I_n

n'est pas inversible (ou que

E_\lambda(A) \neq \{0\}

Toute valeur propre de $A$ est donc dans $\{2, 3\}$ (sans information complémentaire on ne peut pas exclure ces candidats).

Étape 4 —

Je conclus en énonçant

\mathrm{Sp}(A)

$\mathrm{Sp}(A) \subset \{2, 3\}$ .

Application guidée

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A$ (matrice de projection). Déterminer les valeurs propres possibles.

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . On observe que $A^2 = 3 A$ . En déduire $\mathrm{Sp}(A)$ .

Application autonome 2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3 = A$ . Quelles sont les valeurs propres possibles de $A$ ?

Application autonome 3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2 - 4 A + 3 I_n = 0$ . Quelles sont les valeurs propres possibles de $A$ ?

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