Comment diagonaliser explicitement une matrice ( $D = P^{-1} A P$ ) ?

En formant $P$ avec les vecteurs propres en colonnes et $D$ diagonale avec les valeurs propres associées

L'objectif

Trouver explicitement $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $D = P^{-1} A P$ (autrement dit $A = P D P^{-1}$ ).

Le principe

Si $A$ est diagonalisable, on choisit une base de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ formée de vecteurs propres de $A$ ; en plaçant ces vecteurs en colonnes de $P$ et les valeurs propres correspondantes (dans le même ordre) sur la diagonale de $D$ , on obtient $A P = P D$ , donc $D = P^{-1} A P$ .

La méthode

1
Je détermine $\mathrm{Sp}(A)$ et, pour chaque $\lambda_i$ , une base de $E_{\lambda_i}(A)$ , puis je vérifie que $A$ est diagonalisable (somme des dimensions $= n$ ).
Comment montrer qu'une matrice est diagonalisable ?Voir
2
Je place les vecteurs propres en colonnes de $P$ (en respectant un ordre choisi) et les valeurs propres correspondantes sur la diagonale de $D$ dans le même ordre.
3
Je conclus $A = P D P^{-1}$ , soit $D = P^{-1} A P$ (on vérifie éventuellement par $A P = P D$ pour s'assurer du résultat).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En formant PPP avec les vecteurs propres en colonnes et DDD diagonale avec les valeurs propres associées

Exemple corrigé

En formant $P$ avec les vecteurs propres en colonnes et $D$ diagonale avec les valeurs propres associées