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Comment montrer qu'une matrice est diagonalisable ?

En montrant que la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut nn

L'objectif

Démontrer qu'une matrice A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est diagonalisable.

Le principe

AA est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut nn ; en effet une concaténation de bases des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes forme alors une base de Mn,1(R)\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}).

La méthode
  1. 1
    Je détermine Sp(A)={λ1,…,λp}\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}.
    Voir
  2. 2
    Pour chaque λi\lambda_i, je calcule dim⁡Eλi(A)\dim E_{\lambda_i}(A) en résolvant (A−λiIn)X=0(A - \lambda_i I_n) X = 0.
    Voir
  3. 3
    Je calcule la somme ∑i=1pdim⁡Eλi(A)\sum_{i=1}^{p} \dim E_{\lambda_i}(A).
  4. 4
    Si cette somme vaut nn, je conclus que AA est diagonalisable ; sinon AA ne l'est pas.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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