En montrant que la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $n$

Démontrer qu'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est diagonalisable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.

L'objectif

Démontrer qu'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est diagonalisable.

Le principe

$A$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut $n$ ; en effet une concaténation de bases des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes forme alors une base de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ .

La méthode

1
Je détermine $\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}$ .
Comment déterminer le spectre (valeurs propres) d'une matrice carrée ?Voir
2
Pour chaque $\lambda_i$ , je calcule $\dim E_{\lambda_i}(A)$ en résolvant $(A - \lambda_i I_n) X = 0$ .
Comment déterminer un sous-espace propre associé à une valeur propre ?Voir
3
Je calcule la somme $\sum_{i=1}^{p} \dim E_{\lambda_i}(A)$ .
4
Si cette somme vaut $n$ , je conclus que $A$ est diagonalisable ; sinon $A$ ne l'est pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.

Étape 1 —

Je détermine

\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}

$\mathrm{Sp}(A) = \{-1, 3\}$ (deux valeurs propres distinctes).

Étape 2 —

Pour chaque

\lambda_i

, je calcule

\dim E_{\lambda_i}(A)

en résolvant

(A - \lambda_i I_n) X = 0

$\dim E_3(A) = 1$ (engendré par $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ) et $\dim E_{-1}(A) = 1$ (engendré par $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ ).

Étape 3 —

Je calcule la somme

\sum_{i=1}^{p} \dim E_{\lambda_i}(A)

$\dim E_{-1}(A) + \dim E_3(A) = 1 + 1 = 2$ .

Étape 4 —

Si cette somme vaut

n

, je conclus que

A

est diagonalisable ; sinon

A

ne l'est pas.

La somme vaut $n = 2$ , donc $A$ est diagonalisable.

$A$ est diagonalisable.

Application guidée

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.

Application autonome 1

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable.

Application autonome 2

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.

Application autonome 3

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable.

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En montrant que la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut nnn

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