Comment représenter graphiquement les trajectoires d'un système différentiel avec scipy.integrate.odeint ? | MetMat

Comment représenter graphiquement les trajectoires d'un système différentiel avec scipy.integrate.odeint ?

En appelant scipy.integrate.odeint(f, X0, t) puis en traçant les trajectoires avec matplotlib

Approfondissement

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

L'objectif

Approfondissement — Tracer numériquement les trajectoires d'un système différentiel pour illustrer les notions de convergence vers un équilibre et d'influence des conditions initiales.

Le principe

Le solveur scipy.integrate.odeint(f, X0, t) intègre le système $X'(t) = f(X(t), t)$ sur la grille de temps $t$ à partir de la condition initiale $X_0$ , et renvoie un tableau dont chaque ligne donne l'état approché à l'instant correspondant.

La méthode

1
Je définis la fonction Python f(X, t) qui renvoie le second membre du système, c'est-à-dire le vecteur $f(X,t)$ de l'équation $X'(t) = f(X(t), t)$ .
2
Je fixe la condition initiale X0 (liste ou tableau numpy) et la grille de temps t = numpy.linspace(t0, tf, N).
3
J'appelle sol = scipy.integrate.odeint(f, X0, t) : sol[:, i] contient l'évolution de la i-ème composante.
4
Je trace les trajectoires avec matplotlib.pyplot.plot, j'ajoute légendes, axes et titre, puis j'interprète le comportement (équilibre, oscillations, divergence).

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Application guidée 1

On considère l'équation $y'(t) = -2 y(t)$ avec $y(0) = 3$ sur $[0, 5]$ . Tracer la solution numérique avec odeint.

Application guidée 2

Système proie-prédateur (Lotka-Volterra) : $x' = x - 0{,}5\\, x y$ et $y' = -y + 0{,}5\\, x y$ avec $(x_0, y_0) = (2, 1)$ . Tracer $x(t)$ et $y(t)$ sur $[0, 20]$ .

Application autonome 1

On veut étudier l'influence de la condition initiale sur l'équation logistique $y' = y(1 - y)$ pour $y_0 \\in \\{0{,}1\\,;\\,0{,}5\\,;\\,1{,}5\\}$ sur $[0, 8]$ .

Application autonome 2

On considère l'équation logistique $y'(t) = 0{,}5\,y(t)(1 - y(t)/10)$ avec $y(0) = 1$ sur $[0, 20]$ . Tracer la solution numérique.

Application autonome 3

Système linéaire : $x' = -x + y$ et $y' = -x - y$ avec $(x_0, y_0) = (1, 0)$ . Tracer $x(t)$ et $y(t)$ sur $[0, 10]$ .

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