Comment représenter graphiquement les trajectoires d'un système différentiel avec scipy.integrate.odeint ? | MetMat

Comment représenter graphiquement les trajectoires d'un système différentiel avec scipy.integrate.odeint ?

En appelant scipy.integrate.odeint(f, X0, t) puis en traçant les trajectoires avec matplotlib

Approfondissement — Tracer numériquement les trajectoires d'un système différentiel pour illustrer les notions de convergence vers un équilibre et d'influence des conditions initiales.

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On considère l'équation $y'(t) = -2 y(t)$ avec $y(0) = 3$ sur $[0, 5]$ . Tracer la solution numérique avec odeint.

L'objectif

Approfondissement — Tracer numériquement les trajectoires d'un système différentiel pour illustrer les notions de convergence vers un équilibre et d'influence des conditions initiales.

Le principe

Le solveur scipy.integrate.odeint(f, X0, t) intègre le système $X'(t) = f(X(t), t)$ sur la grille de temps $t$ à partir de la condition initiale $X_0$ , et renvoie un tableau dont chaque ligne donne l'état approché à l'instant correspondant.

La méthode

1
Je définis la fonction Python f(X, t) qui renvoie le second membre du système, c'est-à-dire le vecteur $f(X,t)$ de l'équation $X'(t) = f(X(t), t)$ .
2
Je fixe la condition initiale X0 (liste ou tableau numpy) et la grille de temps t = numpy.linspace(t0, tf, N).
3
J'appelle sol = scipy.integrate.odeint(f, X0, t) : sol[:, i] contient l'évolution de la i-ème composante.
4
Je trace les trajectoires avec matplotlib.pyplot.plot, j'ajoute les légendes, les labels d'axes et un titre, puis j'interprète le comportement (équilibre, oscillations, divergence).

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

On considère l'équation $y'(t) = -2 y(t)$ avec $y(0) = 3$ sur $[0, 5]$ . Tracer la solution numérique avec odeint.

Étape 1 —

Je définis la fonction Python f(X, t) qui renvoie le second membre du système, c'est-à-dire le vecteur

f(X,t)

de l'équation

X'(t) = f(X(t), t)

Je définis la fonction du second membre :

def f(y, t):
    return -2 * y

Étape 2 —

Je fixe la condition initiale X0 (liste ou tableau numpy) et la grille de temps t = numpy.linspace(t0, tf, N).

Je fixe la condition initiale et la grille de temps :

import numpy as np
Y0 = 3
t = np.linspace(0, 5, 200)

Étape 3 —

J'appelle sol = scipy.integrate.odeint(f, X0, t) : sol[:, i] contient l'évolution de la i-ème composante.

J'appelle odeint :

from scipy.integrate import odeint
sol = odeint(f, Y0, t)

La colonne sol[:, 0] donne l'approximation de $y(t)$ .

Étape 4 —

Je trace les trajectoires avec matplotlib.pyplot.plot, j'ajoute les légendes, les labels d'axes et un titre, puis j'interprète le comportement (équilibre, oscillations, divergence).

Je trace la solution :

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(t, sol[:, 0])
plt.xlabel('t'); plt.ylabel('y(t)'); plt.title("y' = -2y, y(0)=3")
plt.show()

La courbe décroît exponentiellement vers $0$ , ce qui illustre la convergence vers l'équilibre $y = 0$ .

La solution numérique converge exponentiellement vers $0$ , en accord avec la solution exacte $y(t) = 3 e^{-2t}$ .

Application guidée

Système proie-prédateur (Lotka-Volterra) : $x' = x - 0{,}5\\, x y$ et $y' = -y + 0{,}5\\, x y$ avec $(x_0, y_0) = (2, 1)$ . Tracer $x(t)$ et $y(t)$ sur $[0, 20]$ .

Application autonome 1

On veut étudier l'influence de la condition initiale sur l'équation logistique $y' = y(1 - y)$ pour $y_0 \\in \\{0{,}1\\,;\\,0{,}5\\,;\\,1{,}5\\}$ sur $[0, 8]$ .

Application autonome 2

On considère l'équation logistique $y'(t) = 0{,}5\,y(t)(1 - y(t)/10)$ avec $y(0) = 1$ sur $[0, 20]$ . Tracer la solution numérique.

Application autonome 3

Système linéaire : $x' = -x + y$ et $y' = -x - y$ avec $(x_0, y_0) = (1, 0)$ . Tracer $x(t)$ et $y(t)$ sur $[0, 10]$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices