Comment construire numériquement un intervalle de confiance asymptotique en Python ? | MetMat

Comment construire numériquement un intervalle de confiance asymptotique en Python ?

En calculant X̄ₙ et Sₙ sur l'échantillon, puis en utilisant le quantile de N(0,1) via scipy.stats.norm.ppf

Approfondissement

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

L'objectif

Approfondissement — Construire en Python un intervalle de confiance asymptotique de niveau $1 - \\alpha$ pour la moyenne d'une loi à partir d'un échantillon i.i.d.

Le principe

Pour un échantillon i.i.d. $(X_1, \\ldots, X_n)$ d'espérance $\\mu$ et de variance $\\sigma^2$ , le TCL donne $\\sqrt{n}\\,(\\bar X_n - \\mu)/S_n \\xrightarrow{\\mathcal{L}} \\mathcal{N}(0,1)$ , d'où l'intervalle asymptotique $\\bigl[\\bar X_n - z_{1-\\alpha/2} S_n/\\sqrt{n}\\,,\\, \\bar X_n + z_{1-\\alpha/2} S_n/\\sqrt{n}\\bigr]$ où $z_{1-\\alpha/2}$ est le quantile fourni par scipy.stats.norm.ppf(1 - alpha/2).

La méthode

1
Je dispose de l'échantillon X (tableau numpy) et je fixe le niveau de confiance $1 - \\alpha$ (souvent $0{,}95$ , donc $\\alpha = 0{,}05$ ).
2
Je calcule $\\bar X_n$ = X.mean() et l'écart-type empirique $S_n$ = X.std(ddof=1) (estimateur sans biais de $\\sigma$ ).
3
Je récupère le quantile $z_{1-\\alpha/2}$ avec from scipy.stats import norm; z = norm.ppf(1 - alpha/2).
4
Je construis la demi-largeur $h = z \\cdot S_n / \\sqrt{n}$ et l'intervalle [X̄ - h, X̄ + h], puis je l'interprète : avec une probabilité asymptotique $1 - \\alpha$ , $\\mu$ appartient à cet intervalle.

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Application guidée 1

Sondage : sur $n = 1000$ personnes, on observe une fréquence empirique $\\bar X_n = 0{,}52$ d'intentions de vote. Construire un intervalle de confiance à $95\\,\\%$ pour $p$ .

Application guidée 2

Échantillon de taille $n = 200$ d'une loi $\\mathcal{P}(\\lambda)$ inconnue. Construire un intervalle de confiance à $99\\,\\%$ pour $\\lambda$ .

Application autonome 1

Vérification empirique : on simule $K = 2000$ échantillons de taille $n = 100$ d'une loi $\\mathcal{B}(0{,}3)$ et on construit l'IC à $95\\,\\%$ à chaque fois. Vérifier que la fréquence d'intervalles contenant $p$ est proche de $0{,}95$ .

Application autonome 2

Un laboratoire mesure $n = 64$ concentrations d'une substance, moyenne empirique $\overline{X}_n = 5{,}2$ et écart-type empirique $S_n = 0{,}8$ . Construire un IC à $99\,\%$ pour la concentration moyenne $\mu$ .

Application autonome 3

On simule $n = 1000$ temps entre clients dans un magasin, moyenne empirique $\overline{X}_n = 45\,\mathrm{s}$ et $S_n = 12\,\mathrm{s}$ . Construire un IC à $90\,\%$ pour la moyenne $\mu$ .

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