Comment calculer $V_n$ à partir de $V_0$ et $M$ ? | MetMat

Comment calculer $V_n$ à partir de $V_0$ et $M$ ?

En écrivant $V_n = V_0 M^n$ puis en calculant $M^n$ par diagonalisation

Calculer la loi $V_n$ à un rang quelconque en utilisant la formule $V_n = V_0 M^n$ et une diagonalisation de $M$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On considère $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ et $V_0 = (1 \\;\\; 0)$ . Calculer $V_n$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$ .

L'objectif

Calculer la loi $V_n$ à un rang quelconque en utilisant la formule $V_n = V_0 M^n$ et une diagonalisation de $M$ .

Le principe

Une récurrence immédiate à partir de $V_n = V_{n-1} M$ donne $V_n = V_0 M^n$ ; lorsque $M$ est diagonalisable sous la forme $M = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, on a $M^n = P D^n P^{-1}$ , ce qui ramène le calcul de $M^n$ à celui des puissances des valeurs propres.

La méthode

1
Je démontre par récurrence sur $n$ que $V_n = V_0 M^n$ à partir de la relation $V_n = V_{n-1} M$ .
2
Je diagonalise $M$ : je cherche les valeurs propres puis une base de vecteurs propres, ce qui me donne $M = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale (en supposant $M$ diagonalisable).
Comment diagonaliser explicitement une matrice ($D = P^{-1} A P$) ?Voir
3
Je calcule $M^n = P D^n P^{-1}$ en élevant les coefficients diagonaux de $D$ à la puissance $n$ .
Comment calculer une puissance n-ième d'une matrice diagonalisable ?Voir
4
Je multiplie : $V_n = V_0 M^n$ , et je conclus en explicitant chaque coordonnée de $V_n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

On considère $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ et $V_0 = (1 \\;\\; 0)$ . Calculer $V_n$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Je démontre par récurrence sur

n

que

V_n = V_0 M^n

à partir de la relation

V_n = V_{n-1} M

Par récurrence, $V_n = V_0 M^n$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$ (initialisation triviale, hérédité par $V_{n+1} = V_n M = V_0 M^n M = V_0 M^{n+1}$ ).

Étape 2 —

Je diagonalise

M

: je cherche les valeurs propres puis une base de vecteurs propres, ce qui me donne

M = P D P^{-1}

avec

D

diagonale (en supposant

M

diagonalisable).

Le polynôme caractéristique de $M$ est $\\chi_M(X) = (X-1)(X - 0{,}4)$ , donc les valeurs propres sont $1$ et $0{,}4$ . On vérifie que $M$ est diagonalisable et l'on obtient $P = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & -2 \\end{pmatrix}$ , $D = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0{,}4 \\end{pmatrix}$ , $P^{-1} = \\tfrac{1}{3}\\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & -1 \\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule

M^n = P D^n P^{-1}

en élevant les coefficients diagonaux de

D

à la puissance

n

Donc $M^n = P D^n P^{-1} = \\tfrac{1}{3} \\begin{pmatrix} 2 + 0{,}4^n & 1 - 0{,}4^n \\\\ 2 - 2 \\cdot 0{,}4^n & 1 + 2 \\cdot 0{,}4^n \\end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je multiplie :

V_n = V_0 M^n

, et je conclus en explicitant chaque coordonnée de

V_n

Comme $V_0 = (1 \\;\\; 0)$ , on lit la première ligne de $M^n$ : $V_n = \\tfrac{1}{3}(2 + 0{,}4^n \\;\\; 1 - 0{,}4^n)$ .

$V_n = \\left( \\dfrac{2 + 0{,}4^n}{3} \\;\\; \\dfrac{1 - 0{,}4^n}{3} \\right)$

Application guidée

Soit $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ (modèle marketing : un client actif le reste à $90\,\%$ , un client inactif s'active à $40\,\%$ ) et $V_0 = (0 \\;\\; 1)$ . Calculer $V_n$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$ .

Application autonome 1

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{4} & \tfrac{3}{4} \end{pmatrix}$ et $V_0 = (1 \\;\\; 0)$ . Calculer $V_n$ .

Application autonome 2

On considère $M = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{4} & \tfrac{1}{4} \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $V_0 = (1\;\;0)$ . Calculer $V_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Application autonome 3

Soit $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ et $V_0 = (1\;\;0)$ . Calculer $V_n$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En écrivant Vn=V0MnV_n = V_0 M^nVn​=V0​Mn puis en calculant MnM^nMn par diagonalisation

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $V_n = V_0 M^n$ puis en calculant $M^n$ par diagonalisation