MetMat
← Retour aux méthodes

Comment écrire la relation de récurrence Vn=Vn−1MV_n = V_{n-1} M entre deux états successifs ?

En interprétant la matrice ligne Vn=(P([Xn=1]),ldots,P([Xn=r]))V_n = (P([X_n=1]), \\ldots, P([X_n=r]))

L'objectif

Établir et utiliser la relation matricielle Vn=Vn−1MV_n = V_{n-1} M liant la loi de XnX_n à celle de Xn−1X_{n-1}.

Le principe

En notant Vn=(P([Xn=1]),ldots,P([Xn=r]))V_n = (P([X_n=1]), \\ldots, P([X_n=r])) la matrice ligne donnant la loi de XnX_n, la formule des probabilités totales appliquée au système complet ([Xn−1=i])1leiler([X_{n-1}=i])_{1 \\le i \\le r} fournit P([Xn=j])=sumi=1rmi,jP([Xn−1=i])P([X_n=j]) = \\sum_{i=1}^{r} m_{i,j} P([X_{n-1}=i]), ce qui s'écrit matriciellement Vn=Vn−1MV_n = V_{n-1} M.

La méthode
  1. 1
    Je définis la matrice ligne Vn=(P([Xn=1]),ldots,P([Xn=r]))V_n = (P([X_n=1]), \\ldots, P([X_n=r])) représentant la loi de XnX_n et je vérifie que la somme de ses coefficients vaut 11.
  2. 2
    J'applique la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements ([Xn−1=i])1leiler([X_{n-1}=i])_{1 \\le i \\le r} : P([Xn=j])=sumi=1rP[Xn−1=i]([Xn=j])P([Xn−1=i])=sumi=1rmi,jP([Xn−1=i])P([X_n=j]) = \\sum_{i=1}^{r} P_{[X_{n-1}=i]}([X_n=j]) P([X_{n-1}=i]) = \\sum_{i=1}^{r} m_{i,j} P([X_{n-1}=i]).
  3. 3
    Je reconnais le produit matriciel ligne par colonne et je conclus Vn=Vn−1MV_n = V_{n-1} M.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.