Comment reconnaître et utiliser la loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$ ?

En posant $f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ , $E(X) = \frac{a+b}{2}$ , $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

L'objectif

Modéliser un tirage « au hasard sur un intervalle » par une loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$ et en exploiter densité, espérance, variance et probabilités.

Le principe

Si $X \sim \mathcal{U}([a,b])$ avec $a < b$ , alors $f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ , $E(X) = \frac{a+b}{2}$ , $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ et $P(c \le X \le d) = \frac{d-c}{b-a}$ pour $[c,d] \subset [a,b]$ .

La méthode

1
Je justifie que $X$ suit une loi uniforme : la situation décrit un choix au hasard, sans préférence, sur un intervalle borné $[a,b]$ , et j'écris $X \sim \mathcal{U}([a,b])$ .
2
J'écris la densité $f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ et je trace son graphe (rectangle de hauteur $\frac{1}{b-a}$ sur $[a,b]$ ).
3
Je calcule l'espérance $E(X) = \frac{a+b}{2}$ et la variance $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ par les formules du cours.
4
Pour une probabilité du type $P(c \le X \le d)$ avec $[c,d] \cap [a,b] \ne \emptyset$ , j'utilise $P(c \le X \le d) = \frac{\min(d,b) - \max(c,a)}{b-a}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En posant fX(t)=1b−a 1[a,b](t)f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)fX​(t)=b−a1​1[a,b]​(t), E(X)=a+b2E(X) = \frac{a+b}{2}E(X)=2a+b​, V(X)=(b−a)212V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}V(X)=12(b−a)2​

Exemple corrigé

En posant $f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ , $E(X) = \frac{a+b}{2}$ , $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$