Comment déterminer la loi d'une somme de variables normales indépendantes ?

En appliquant le théorème : $X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$ , $X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$ indép $\Rightarrow X_1 + X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

L'objectif

Identifier directement la loi d'une somme finie de variables normales indépendantes via la propriété de stabilité.

Le principe

Si $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes et $X_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)$ , alors $X_1 + \cdots + X_n \sim \mathcal{N}\!\left(\sum_{i=1}^n \mu_i,\ \sum_{i=1}^n \sigma_i^2\right)$ (admis au BO) ; plus généralement, si $a_i \in \mathbb{R}$ , $\sum a_i X_i \sim \mathcal{N}\!\left(\sum a_i \mu_i,\ \sum a_i^2 \sigma_i^2\right)$ .

La méthode

1
Je vérifie deux hypothèses essentielles : chaque $X_i$ suit une loi normale, et les $X_i$ sont mutuellement indépendantes.
2
Je relève les paramètres $(\mu_i, \sigma_i^2)$ de chaque variable.
3
Pour la somme $S = \sum a_i X_i$ , je calcule par linéarité $E(S) = \sum a_i \mu_i$ et, par indépendance, $V(S) = \sum a_i^2 \sigma_i^2$ .
4
J'applique le théorème de stabilité : $S$ suit la loi normale $\mathcal{N}(E(S), V(S))$ et je conclus.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.