Comment reconnaître et utiliser la loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ ?

En écrivant $f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ , $E(X) = \mu$ , $V(X) = \sigma^2$

L'objectif

Modéliser une grandeur fluctuant autour d'une valeur moyenne par une loi normale et savoir en extraire les paramètres et la densité.

Le principe

Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ : $f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ , $E(X) = \mu$ , $V(X) = \sigma^2$ ; le graphe est une courbe en cloche symétrique autour de $\mu$ .

La méthode

1
J'identifie le modèle gaussien : la grandeur étudiée fluctue de manière symétrique autour d'une valeur centrale, donc $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ .
2
Je relève les paramètres : $\mu$ est l'espérance (centre de la cloche) et $\sigma^2$ la variance ( $\sigma$ étant l'écart-type, contrôlant la dispersion).
3
J'écris la densité $f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ pour $t \in \mathbb{R}$ et je trace la cloche symétrique autour de $\mu$ , de hauteur $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ .
4
Je conclus : $E(X) = \mu$ , $V(X) = \sigma^2$ et $\sigma(X) = \sigma$ , et toute probabilité se calcule en passant à la loi centrée réduite (méthode dédiée).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En écrivant fX(t)=1σ2π exp⁡ ⁣(−(t−μ)22σ2)f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)fX​(t)=σ2π​1​exp(−2σ2(t−μ)2​), E(X)=μE(X) = \muE(X)=μ, V(X)=σ2V(X) = \sigma^2V(X)=σ2

Exemple corrigé

En écrivant $f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ , $E(X) = \mu$ , $V(X) = \sigma^2$