Comment reconnaître et utiliser la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ et son absence de mémoire ? | MetMat

Comment reconnaître et utiliser la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ et son absence de mémoire ?

En posant $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ , $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ , $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ , et en exploitant $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$

Reconnaître une loi exponentielle dans une situation de temps d'attente sans mémoire et utiliser densité, fonction de répartition, espérance, variance et propriété d'absence de mémoire.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant suit une loi $\mathcal{E}(0,2)$ . Calculer $E(X)$ , $P(X > 5)$ et $P(X > 8 \mid X > 3)$ .

L'objectif

Reconnaître une loi exponentielle dans une situation de temps d'attente sans mémoire et utiliser densité, fonction de répartition, espérance, variance et propriété d'absence de mémoire.

Le principe

Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ : $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ , $F_X(t) = (1 - e^{-\lambda t})\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ , $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ , $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ , et $\forall s, t \ge 0,\ P_{X > s}(X > s+t) = P(X > t)$ (absence de mémoire, propriété caractéristique).

La méthode

1
Je justifie le modèle exponentiel : $X$ représente une durée d'attente positive sans usure (le passé n'influe pas sur la suite), donc $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ pour un paramètre $\lambda > 0$ .
2
J'écris la densité $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ et la fonction de répartition $F_X(t) = (1 - e^{-\lambda t})\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ .
3
Je calcule les moments : $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ , $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ , et toute probabilité du type $P(a \le X \le b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$ pour $0 \le a \le b$ .
4
Pour une probabilité conditionnelle $P_{X > s}(X > s+t)$ , j'utilise l'absence de mémoire : $P_{X > s}(X > s+t) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant suit une loi $\mathcal{E}(0,2)$ . Calculer $E(X)$ , $P(X > 5)$ et $P(X > 8 \mid X > 3)$ .

Étape 1 —

Je justifie le modèle exponentiel :

X

représente une durée d'attente positive sans usure (le passé n'influe pas sur la suite), donc

X \sim \mathcal{E}(\lambda)

pour un paramètre

\lambda > 0

$X$ modélise une durée de vie sans usure : $X \sim \mathcal{E}(0{,}2)$ , donc $\lambda = 0{,}2$ .

Étape 2 —

J'écris la densité

f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}

et la fonction de répartition

F_X(t) = (1 - e^{-\lambda t})\,\mathbf{1}_{t \ge 0}

La densité est $f_X(t) = 0{,}2\, e^{-0{,}2 t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ et $F_X(t) = (1 - e^{-0{,}2 t})\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ .

Étape 3 —

Je calcule les moments :

E(X) = \frac{1}{\lambda}

V(X) = \frac{1}{\lambda^2}

, et toute probabilité du type

P(a \le X \le b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}

pour

0 \le a \le b

$E(X) = \frac{1}{0{,}2} = 5$ ans et $P(X > 5) = e^{-0{,}2 \times 5} = e^{-1} \approx 0{,}368$ .

Étape 4 —

Pour une probabilité conditionnelle

P_{X > s}(X > s+t)

, j'utilise l'absence de mémoire :

P_{X > s}(X > s+t) = P(X > t) = e^{-\lambda t}

Par absence de mémoire, $P(X > 8 \mid X > 3) = P(X > 5) = e^{-1} \approx 0{,}368$ .

$E(X) = 5$ ans, $P(X > 5) = e^{-1}$ , $P(X > 8 \mid X > 3) = e^{-1}$ .

Application guidée

Le temps $T$ (en minutes) entre deux appels reçus par un standard suit $\mathcal{E}(\tfrac{1}{4})$ . Calculer $P(T \le 2)$ , $P(2 \le T \le 6)$ et l'espérance.

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ . Montrer rapidement que $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$ pour $s, t \ge 0$ et l'illustrer pour $\lambda = 1$ , $s = 2$ , $t = 3$ .

Application autonome 2

Le temps $T$ (en heures) avant la prochaine panne d'un serveur suit $\mathcal{E}(0{,}1)$ . Calculer $P(T \leq 5)$ et $E(T)$ .

Application autonome 3

La durée de vie $X$ (en mois) d'une ampoule suit $\mathcal{E}(\tfrac{1}{12})$ . Sachant qu'elle fonctionne depuis $6$ mois, calculer la probabilité qu'elle dure encore au moins $12$ mois.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En posant fX(t)=λe−λt 1t≥0f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}fX​(t)=λe−λt1t≥0​, E(X)=1λE(X) = \frac{1}{\lambda}E(X)=λ1​, V(X)=1λ2V(X) = \frac{1}{\lambda^2}V(X)=λ21​, et en exploitant P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ , $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ , $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ , et en exploitant $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$