Comment reconnaître et utiliser la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ et son absence de mémoire ?

En posant $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ , $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ , $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ , et en exploitant $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$

L'objectif

Reconnaître une loi exponentielle dans une situation de temps d'attente sans mémoire et utiliser densité, fonction de répartition, espérance, variance et propriété d'absence de mémoire.

Le principe

Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ : $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ , $F_X(t) = (1 - e^{-\lambda t})\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ , $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ , $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ , et $\forall s, t \ge 0,\ P_{X > s}(X > s+t) = P(X > t)$ (absence de mémoire, propriété caractéristique).

La méthode

1
Je justifie le modèle exponentiel : $X$ représente une durée d'attente positive sans usure (le passé n'influe pas sur la suite), donc $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ pour un paramètre $\lambda > 0$ .
2
J'écris la densité $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ et la fonction de répartition $F_X(t) = (1 - e^{-\lambda t})\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ .
3
Je calcule les moments : $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ , $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ , et toute probabilité du type $P(a \le X \le b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$ pour $0 \le a \le b$ .
4
Pour une probabilité conditionnelle $P_{X > s}(X > s+t)$ , j'utilise l'absence de mémoire : $P_{X > s}(X > s+t) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En posant fX(t)=λe−λt 1t≥0f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}fX​(t)=λe−λt1t≥0​, E(X)=1λE(X) = \frac{1}{\lambda}E(X)=λ1​, V(X)=1λ2V(X) = \frac{1}{\lambda^2}V(X)=λ21​, et en exploitant P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)

Exemple corrigé

En posant $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ , $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ , $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ , et en exploitant $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$