Comment se ramener à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ ? | MetMat

Comment se ramener à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ ?

En posant $X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$

Transformer une variable $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ en variable centrée réduite $X^* \sim \mathcal{N}(0,1)$ pour pouvoir utiliser la fonction de répartition $\Phi$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{N}(10, 4)$ . Exprimer $P(X \le 12)$ et $P(8 \le X \le 14)$ à l'aide de $\Phi$ .

L'objectif

Transformer une variable $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ en variable centrée réduite $X^* \sim \mathcal{N}(0,1)$ pour pouvoir utiliser la fonction de répartition $\Phi$ .

Le principe

Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ , alors $X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$ : c'est une transformation affine, $E(X^*) = 0$ et $V(X^*) = 1$ , et tout événement $\{X \le a\}$ s'écrit $\{X^* \le \frac{a - \mu}{\sigma}\}$ .

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse : $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ , et je relève $\mu$ et $\sigma$ .
2
Je pose $X^* = \frac{X - \mu}{\sigma}$ et j'applique le théorème : $X^* \sim \mathcal{N}(0, 1)$ .
3
Je traduis l'événement à étudier : $\{X \le a\} = \left\{X^* \le \frac{a - \mu}{\sigma}\right\}$ et $\{a \le X \le b\} = \left\{\frac{a-\mu}{\sigma} \le X^* \le \frac{b-\mu}{\sigma}\right\}$ .
4
Je conclus en exprimant la probabilité demandée à l'aide de $\Phi$ , fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$ (utilisée via la table).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{N}(10, 4)$ . Exprimer $P(X \le 12)$ et $P(8 \le X \le 14)$ à l'aide de $\Phi$ .

Étape 1 —

Je vérifie l'hypothèse :

X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)

avec

\sigma > 0

, et je relève

\mu

\sigma

$X \sim \mathcal{N}(10, 4)$ : $\mu = 10$ , $\sigma^2 = 4$ , donc $\sigma = 2$ .

Étape 2 —

Je pose

X^* = \frac{X - \mu}{\sigma}

et j'applique le théorème :

X^* \sim \mathcal{N}(0, 1)

On pose $X^* = \frac{X - 10}{2}$ , alors $X^* \sim \mathcal{N}(0, 1)$ .

Étape 3 —

Je traduis l'événement à étudier :

\{X \le a\} = \left\{X^* \le \frac{a - \mu}{\sigma}\right\}

\{a \le X \le b\} = \left\{\frac{a-\mu}{\sigma} \le X^* \le \frac{b-\mu}{\sigma}\right\}

$P(X \le 12) = P\!\left(X^* \le \frac{12-10}{2}\right) = P(X^* \le 1)$ , et $P(8 \le X \le 14) = P(-1 \le X^* \le 2)$ .

Étape 4 —

Je conclus en exprimant la probabilité demandée à l'aide de

\Phi

, fonction de répartition de

\mathcal{N}(0,1)

(utilisée via la table).

Par $\Phi$ : $P(X \le 12) = \Phi(1)$ et $P(8 \le X \le 14) = \Phi(2) - \Phi(-1)$ .

$P(X \le 12) = \Phi(1)$ , $P(8 \le X \le 14) = \Phi(2) - \Phi(-1)$ .

Application guidée

La taille $X$ d'un adulte (en cm) suit $\mathcal{N}(170, 64)$ . Exprimer $P(X \ge 180)$ à l'aide de $\Phi$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ . Montrer que $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = 2\Phi(1) - 1$ .

Application autonome 2

Soit $X \sim \mathcal{N}(5, 9)$ . Exprimer $P(X \leq 8)$ à l'aide de $\Phi$ .

Application autonome 3

La tension $X$ (en V) délivrée par un générateur suit $\mathcal{N}(220, 25)$ . Exprimer $P(215 \leq X \leq 225)$ à l'aide de $\Phi$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En posant X∗=X−μσ∼N(0,1)X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)X∗=σX−μ​∼N(0,1)

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$