Comment se ramener à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ ?

En posant $X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$

L'objectif

Transformer une variable $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ en variable centrée réduite $X^* \sim \mathcal{N}(0,1)$ pour pouvoir utiliser la fonction de répartition $\Phi$ .

Le principe

Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ , alors $X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$ : c'est une transformation affine, $E(X^*) = 0$ et $V(X^*) = 1$ , et tout événement $\{X \le a\}$ s'écrit $\{X^* \le \frac{a - \mu}{\sigma}\}$ .

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse : $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ , et je relève $\mu$ et $\sigma$ .
2
Je pose $X^* = \frac{X - \mu}{\sigma}$ et j'applique le théorème : $X^* \sim \mathcal{N}(0, 1)$ .
3
Je traduis l'événement à étudier : $\{X \le a\} = \left\{X^* \le \frac{a - \mu}{\sigma}\right\}$ et $\{a \le X \le b\} = \left\{\frac{a-\mu}{\sigma} \le X^* \le \frac{b-\mu}{\sigma}\right\}$ .
4
Je conclus en exprimant la probabilité demandée à l'aide de $\Phi$ , fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$ (utilisée via la table).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En posant X∗=X−μσ∼N(0,1)X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)X∗=σX−μ​∼N(0,1)

Exemple corrigé

En posant $X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$