Comment étendre l'étude aux intégrales sur $]-\infty, b]$ ou $]-\infty, +\infty[$ ? | MetMat

Comment étendre l'étude aux intégrales sur $]-\infty, b]$ ou $]-\infty, +\infty[$ ?

En découpant en deux intégrales en un point $c$ et en étudiant chaque morceau séparément

L'objectif

Étudier la convergence et calculer la valeur d'une intégrale doublement impropre en se ramenant à deux intégrales simplement impropres.

Le principe

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge ssi pour un (donc tout) réel $c$ , $\int_{-\infty}^c f(t)\,\mathrm{d}t$ ET $\int_c^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ convergent ; sa valeur est alors la somme des deux.

La méthode

1
Je choisis un réel $c$ pratique (souvent $0$ ) où $f$ est définie, et je découpe $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^c f(t)\,\mathrm{d}t + \int_c^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ .
2
J'étudie séparément la nature de chacune des deux intégrales (impropre uniquement en $-\infty$ pour la première, en $+\infty$ pour la seconde) avec les techniques connues (définition, références, comparaison, valeur absolue).
3
Je conclus : l'intégrale globale converge si et seulement si les deux morceaux convergent ; en cas de convergence, je somme les deux valeurs pour obtenir le résultat.

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Application guidée 1

Étudier la nature et la valeur de $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-|t|}\,\mathrm{d}t$ (densité de Laplace).

Application guidée 2

Étudier la nature de $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$ .

Application autonome 1

Étudier la nature de $\int_{-\infty}^0 \frac{\mathrm{d}t}{(t-1)^2}$ .

Application autonome 2

Étudier la nature de $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 3

Étudier la nature de $\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d}t}{\sqrt{|t|}\,(1 + t^2)}$ .

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En découpant en deux intégrales en un point ccc et en étudiant chaque morceau séparément

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En découpant en deux intégrales en un point $c$ et en étudiant chaque morceau séparément