Comment étudier la convergence d'une intégrale impropre $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ par définition ?

En calculant $\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ et en vérifiant qu'elle est finie

L'objectif

Décider de la convergence d'une intégrale impropre à partir de la définition par limite des intégrales partielles.

Le principe

L'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge si et seulement si la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ admet une limite finie en $+\infty$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $[a, +\infty[$ pour pouvoir définir l'intégrale partielle $F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ .
2
Je calcule $F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ en cherchant une primitive de $f$ sur le segment $[a, x]$ .
3
J'étudie $\lim_{x \to +\infty} F(x)$ : si la limite existe et est finie, l'intégrale converge et vaut cette limite ; sinon, elle diverge.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En calculant lim⁡x→+∞∫axf(t) dt\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}tlimx→+∞​∫ax​f(t)dt et en vérifiant qu'elle est finie

Exemple corrigé

En calculant $\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ et en vérifiant qu'elle est finie