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Comment montrer la convergence absolue d'une intégrale ?

En montrant la convergence de ∫∣f∣\int |f| et en concluant par le théorème admis

L'objectif

Établir la convergence d'une intégrale dont l'intégrande change de signe en passant par sa valeur absolue.

Le principe

Si ff est continue sur [a,+∞[[a, +\infty[ et si ∫a+∞∣f(t)∣ dt\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t converge, alors ∫a+∞f(t) dt\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t converge (résultat admis : la convergence absolue implique la convergence).

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que ff est continue sur [a,+∞[[a, +\infty[ ; comme ff change de signe, je m'intéresse à ∣f∣|f| qui est continue et positive.
  2. 2
    J'étudie la nature de ∫a+∞∣f(t)∣ dt\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t par majoration, équivalent ou négligeabilité, en utilisant les théorèmes de comparaison des fonctions positives.
  3. 3
    Si ∫a+∞∣f(t)∣ dt\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t converge, je conclus par le théorème admis que ∫a+∞f(t) dt\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t converge (et est dite absolument convergente).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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