En montrant la convergence de $\int |f|$ et en concluant par le théorème admis

Établir la convergence d'une intégrale dont l'intégrande change de signe en passant par sa valeur absolue.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge.

L'objectif

Établir la convergence d'une intégrale dont l'intégrande change de signe en passant par sa valeur absolue.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a, +\infty[$ et si $\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge, alors $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge (résultat admis : la convergence absolue implique la convergence).

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $[a, +\infty[$ ; comme $f$ change de signe, je m'intéresse à $|f|$ qui est continue et positive.
2
J'étudie la nature de $\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t$ par majoration, équivalent ou négligeabilité, en utilisant les théorèmes de comparaison des fonctions positives.
3
Si $\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge, je conclus par le théorème admis que $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge (et est dite absolument convergente).

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Exercice d'exemple

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge.

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur

[a, +\infty[

; comme

f

change de signe, je m'intéresse à

|f|

qui est continue et positive.

La fonction $f \colon t \mapsto \frac{\sin t}{t^2}$ est continue sur $[1, +\infty[$ et change de signe ; je considère $|f|(t) = \frac{|\sin t|}{t^2}$ , continue et positive.

Étape 2 —

J'étudie la nature de

\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t

par majoration, équivalent ou négligeabilité, en utilisant les théorèmes de comparaison des fonctions positives.

Pour tout $t \geq 1$ , $0 \leq \frac{|\sin t|}{t^2} \leq \frac{1}{t^2}$ et $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ converge (Riemann, $\alpha = 2 > 1$ ), donc $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge par majoration.

Étape 3 —

\int_a^{+\infty} |f(t)|\,\mathrm{d}t

converge, je conclus par le théorème admis que

\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t

converge (et est dite absolument convergente).

$\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\,\mathrm{d}t$ est absolument convergente, donc convergente par le théorème admis.

L'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge absolument, donc converge.

Application guidée

Montrer que $\int_0^{+\infty} \cos(t)\, e^{-t}\,\mathrm{d}t$ converge.

Application autonome 1

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\sin(t^2)}{t^3}\,\mathrm{d}t$ converge.

Application autonome 2

Montrer que $\int_1^{+\infty} \dfrac{\cos(\ln t)}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge.

Application autonome 3

Montrer que $\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin t}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t$ converge.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En montrant la convergence de ∫∣f∣\int |f|∫∣f∣ et en concluant par le théorème admis

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En montrant la convergence de $\int |f|$ et en concluant par le théorème admis