MetMat
← Retour aux méthodes

Comment calculer une intégrale impropre convergente (par primitive ou passage à la limite) ?

En calculant une primitive sur un segment et en passant à la limite

L'objectif

Obtenir la valeur exacte d'une intégrale impropre convergente en utilisant une primitive de l'intégrande.

Le principe

Si ff est continue sur [a,+∞[[a, +\infty[ et admet FF pour primitive sur cet intervalle, alors ∫a+∞f(t) dt=lim⁡x→+∞F(x)−F(a)\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{x \to +\infty} F(x) - F(a), sous réserve que cette limite soit finie.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que ff est continue sur [a,+∞[[a, +\infty[ et je détermine une primitive FF de ff sur cet intervalle (les techniques de calcul comme l'IPP ou le changement de variable non affine ne sont autorisées que sur le segment [a,x][a, x]).
  2. 2
    J'écris ∫axf(t) dt=F(x)−F(a)\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = F(x) - F(a) pour x>ax > a, en restant sur le segment.
  3. 3
    Je calcule lim⁡x→+∞F(x)\lim_{x \to +\infty} F(x) : si elle est finie, l'intégrale converge et vaut lim⁡x→+∞F(x)−F(a)\lim_{x \to +\infty} F(x) - F(a) ; sinon, l'intégrale diverge.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.