Comment représenter une ligne de niveau d'une fonction de deux variables ? | MetMat

Comment représenter une ligne de niveau d'une fonction de deux variables ?

En résolvant l'équation f(x,y) = c et en traçant la courbe correspondante

Représenter graphiquement la ligne de niveau $c$ d'une fonction $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ .

L'objectif

Représenter graphiquement la ligne de niveau $c$ d'une fonction $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ .

Le principe

La ligne de niveau $c$ de $f$ est l'ensemble $L_c = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid f(x,y) = c\}$ ; on l'obtient en résolvant l'équation $f(x,y) = c$ d'inconnues $(x,y)$ .

La méthode

1
Je pose l'équation $f(x,y) = c$ et j'isole, si possible, $y$ en fonction de $x$ (ou $x$ en fonction de $y$ ).
2
Je reconnais la nature géométrique de la courbe obtenue (droite, parabole, hyperbole, cercle, etc.) et je précise son domaine de définition.
3
Je trace la courbe dans le plan $(x,y)$ en plaçant quelques points caractéristiques.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Représenter la ligne de niveau $c = 1$ de $f \colon (x,y) \mapsto x + y$ .

Étape 1 —

Je pose l'équation

f(x,y) = c

et j'isole, si possible,

y

en fonction de

x

(ou

x

en fonction de

y

L'équation $f(x,y) = 1$ s'écrit $x + y = 1$ , soit $y = 1 - x$ .

Étape 2 —

Je reconnais la nature géométrique de la courbe obtenue (droite, parabole, hyperbole, cercle, etc.) et je précise son domaine de définition.

C'est l'équation d'une droite affine de pente $-1$ et d'ordonnée à l'origine $1$ , définie sur tout $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Je trace la courbe dans le plan

(x,y)

en plaçant quelques points caractéristiques.

Je trace la droite passant par les points $(0, 1)$ et $(1, 0)$ .

La ligne de niveau $1$ est la droite d'équation $y = 1 - x$ .

Application guidée

Représenter la ligne de niveau $c = 4$ de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 + y^2$ .

Application autonome 1

Représenter la ligne de niveau $c = 1$ de la fonction de Cobb-Douglas $f \colon (x,y) \mapsto xy$ (sur $(\mathbb{R}_+^*)^2$ ).

Application autonome 2

Représenter la ligne de niveau $c = 0$ de $f \colon (x,y) \mapsto y - x^2$ .

Application autonome 3

Représenter la ligne de niveau $c = 2$ de $f : (x, y) \mapsto 3x - y$ .

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