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Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 2 et appliquer le théorème de Schwarz ?

En dérivant successivement et en appliquant ∂²₁,₂f = ∂²₂,₁f pour f ∈ C²

L'objectif

Obtenir les quatre dérivées partielles d'ordre 2 et constater leur égalité croisée.

Le principe

Si ff est de classe C2\mathcal{C}^2 sur R2\mathbb{R}^2, le théorème de Schwarz assure que pour tout (x,y)∈R2(x,y) \in \mathbb{R}^2, ∂1,22f(x,y)=∂2,12f(x,y)\partial^2_{1,2} f(x,y) = \partial^2_{2,1} f(x,y).

La méthode
  1. 1
    Je calcule les deux dérivées partielles d'ordre 1 ∂1f(x,y)\partial_1 f(x,y) et ∂2f(x,y)\partial_2 f(x,y).
    Voir
  2. 2
    Je dérive ∂1f\partial_1 f par rapport à xx pour obtenir ∂1,12f\partial^2_{1,1} f, puis par rapport à yy pour obtenir ∂1,22f\partial^2_{1,2} f.
  3. 3
    Je dérive ∂2f\partial_2 f par rapport à xx pour obtenir ∂2,12f\partial^2_{2,1} f, puis par rapport à yy pour obtenir ∂2,22f\partial^2_{2,2} f.
  4. 4
    Je vérifie que ff est de classe C2\mathcal{C}^2 sur R2\mathbb{R}^2 et je conclus, par le théorème de Schwarz, que ∂1,22f=∂2,12f\partial^2_{1,2} f = \partial^2_{2,1} f.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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