Comment montrer qu'une fonction de deux variables est continue sur R² ?

En la reconnaissant comme somme/produit/quotient/composée de fonctions continues usuelles

L'objectif

Justifier la continuité d'une fonction $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^2$ par les opérations usuelles.

Le principe

On admet que les fonctions coordonnées $(x,y) \mapsto x$ et $(x,y) \mapsto y$ sont continues sur $\mathbb{R}^2$ , et que somme, produit, quotient (à dénominateur non nul) et composée par une fonction continue d'une variable préservent la continuité.

La méthode

1
Je vérifie que le domaine d'étude est bien $\mathbb{R}^2$ tout entier (ou que le dénominateur ne s'annule pas si $f$ est une fraction).
2
Je rappelle que les fonctions coordonnées $(x,y) \mapsto x$ et $(x,y) \mapsto y$ sont continues sur $\mathbb{R}^2$ .
3
Je décompose $f$ comme une combinaison de ces fonctions coordonnées par sommes, produits, quotients et compositions par des fonctions usuelles continues sur $\mathbb{R}$ .
4
Je conclus que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ par les théorèmes d'opérations sur les fonctions continues.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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