Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ? | MetMat

Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ , $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ?

En vérifiant qu'elle est non vide et stable par combinaison linéaire

Prouver qu'une partie $F$ d'un espace vectoriel de référence est un sous-espace vectoriel.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x - y + z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver qu'une partie $F$ d'un espace vectoriel de référence est un sous-espace vectoriel.

Le principe

Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel et $F \subset E$ ; alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $0_E \in F$ et $\forall (u,v) \in F^2,\ \forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2,\ \lambda u + \mu v \in F$ .

La méthode

1
J'identifie l'espace de référence $E$ ( $\mathbb{R}^n$ , $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ) et je vérifie l'inclusion $F \subset E$ .
2
Je vérifie que le vecteur nul $0_E$ appartient à $F$ , ce qui prouve que $F$ est non vide.
3
Je prends $u, v \in F$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ quelconques, puis je montre que $\lambda u + \mu v$ vérifie la définition de $F$ .
4
Je conclus : $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x - y + z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

J'identifie l'espace de référence

E

(

\mathbb{R}^n

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})

\mathbb{R}_n[X]

) et je vérifie l'inclusion

F \subset E

On a $F \subset \mathbb{R}^3$ par définition.

Étape 2 —

Je vérifie que le vecteur nul

0_E

appartient à

F

, ce qui prouve que

F

est non vide.

$2 \cdot 0 - 0 + 0 = 0$ donc $(0,0,0) \in F$ : $F$ est non vide.

Étape 3 —

Je prends

u, v \in F

\lambda, \mu \in \mathbb{R}

quelconques, puis je montre que

\lambda u + \mu v

vérifie la définition de

F

Soient $u = (x,y,z), v = (x',y',z') \in F$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ ; on calcule $2(\lambda x + \mu x') - (\lambda y + \mu y') + (\lambda z + \mu z') = \lambda(2x - y + z) + \mu(2x' - y' + z') = 0$ , donc $\lambda u + \mu v \in F$ .

Étape 4 —

Je conclus :

F

est un sous-espace vectoriel de

E

$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Application guidée

Montrer que $F = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid \mathrm{tr}(M) = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

Application autonome 1

Montrer que $F = \{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(1) = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_3[X]$ .

Application autonome 2

Montrer que $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0 \text{ et } x - 2y = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Montrer que $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = 2y \text{ et } 3y + z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

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