Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ? | MetMat

Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ , $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ?

En la reconnaissant comme noyau ou image d'une application linéaire

Prouver que $F$ est un sous-espace vectoriel sans calcul de stabilité, en l'écrivant comme noyau ou image d'une application linéaire.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver que $F$ est un sous-espace vectoriel sans calcul de stabilité, en l'écrivant comme noyau ou image d'une application linéaire.

Le principe

Si $f : E \to G$ est linéaire, alors $\ker(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0_G\}$ et $\mathrm{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in E\}$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ et $G$ respectivement.

La méthode

1
J'identifie une application $f$ entre deux espaces vectoriels de référence telle que $F = \ker(f)$ (cas implicite : $F$ est défini par une équation $f(x) = 0$ ) ou $F = \mathrm{Im}(f)$ (cas explicite : $F$ est l'ensemble des valeurs).
2
Je vérifie que $f$ est linéaire en utilisant $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$ .
Comment montrer qu'une application est linéaire ?Voir
3
J'invoque le théorème : le noyau (ou l'image) d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel.
4
Je conclus que $F$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée pertinent.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

J'identifie une application

f

entre deux espaces vectoriels de référence telle que

F = \ker(f)

(cas implicite :

F

est défini par une équation

f(x) = 0

) ou

F = \mathrm{Im}(f)

(cas explicite :

F

est l'ensemble des valeurs).

On pose $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ , $(x,y,z) \mapsto x + 2y - z$ ; alors $F = \ker(f)$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

f

est linéaire en utilisant

f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)

$f$ est linéaire : pour tous $u, v \in \mathbb{R}^3$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ , $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$ .

Étape 3 —

J'invoque le théorème : le noyau (ou l'image) d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel.

Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'ensemble de départ.

Étape 4 —

Je conclus que

F

est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée pertinent.

Donc $F = \ker(f)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

$F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Application guidée

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Montrer que $F = \{X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \mid AX = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ .

Application autonome 1

Montrer que $F = \{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(0) = P(1) = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_3[X]$ .

Application autonome 2

Montrer que $F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x - y + 2z - t = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ .

Application autonome 3

Soit $A \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ . Montrer que $F = \{AX \mid X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ .

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