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Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?

En montrant que la matrice formée par les vecteurs en colonne est de rang pp

L'objectif

Prouver qu'une famille de pp vecteurs est libre via le rang d'une matrice.

Le principe

Une famille de pp vecteurs d'un espace vectoriel de dimension finie est libre si et seulement si la matrice obtenue en plaçant leurs coordonnées dans une base en colonnes est de rang pp.

La méthode
  1. 1
    Je choisis une base de référence (la base canonique en général) et j'écris les coordonnées de chaque vecteur viv_i dans cette base.
  2. 2
    Je place ces coordonnées en colonnes pour former une matrice A∈Mn,p(R)A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}).
  3. 3
    J'applique l'algorithme du pivot de Gauss à AA pour déterminer son rang.
  4. 4
    Si rg(A)=p\mathrm{rg}(A) = p, je conclus que la famille est libre ; sinon (rg(A)<p\mathrm{rg}(A) < p), elle est liée.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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