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Comment déterminer la dimension d'un sous-espace vectoriel ?

En appliquant le théorème du rang

L'objectif

Calculer la dimension de ker⁡(f)\ker(f) ou Im(f)\mathrm{Im}(f) via le théorème du rang.

Le principe

Théorème du rang : pour toute application linéaire f:E→Gf : E \to G avec EE de dimension finie, dim⁡E=dim⁡ker⁡(f)+rg(f)\dim E = \dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) où rg(f)=dim⁡Im(f)\mathrm{rg}(f) = \dim \mathrm{Im}(f).

La méthode
  1. 1
    J'identifie FF comme ker⁡(f)\ker(f) ou Im(f)\mathrm{Im}(f) pour une application linéaire f:E→Gf : E \to G entre espaces de dimension finie.
  2. 2
    Je calcule l'une des deux dimensions, rg(f)\mathrm{rg}(f) ou dim⁡ker⁡(f)\dim \ker(f), par une méthode directe (image : rang d'une matrice ; noyau : résolution d'un système).
    Voir
  3. 3
    J'applique l'égalité dim⁡E=dim⁡ker⁡(f)+rg(f)\dim E = \dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) pour en déduire l'autre.
  4. 4
    Je conclus en donnant dim⁡F\dim F.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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