Comment exprimer un vecteur dans une base ?

En résolvant le système linéaire donnant les coordonnées du vecteur dans la base

Calculer les coordonnées d'un vecteur $u$ dans une base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $\mathcal{B} = ((1, 1), (1, -1))$ une base de $\mathbb{R}^2$ . Donner les coordonnées de $u = (3, 5)$ dans $\mathcal{B}$ .

L'objectif

Calculer les coordonnées d'un vecteur $u$ dans une base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ .

Le principe

Si $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ est une base d'un espace vectoriel $E$ , alors pour tout $u \in E$ , il existe un unique $n$ -uplet $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ tel que $u = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n$ ; les $x_i$ sont les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ .

La méthode

1
Je pose $u = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n$ avec $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$ inconnus.
2
Je traduis l'égalité vectorielle en système linéaire scalaire (par identification dans une base de référence ou par identification des coefficients pour les polynômes/matrices).
3
Je résous le système, qui admet une unique solution puisque $\mathcal{B}$ est une base.
4
J'écris les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ : $(x_1, \ldots, x_n)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $\mathcal{B} = ((1, 1), (1, -1))$ une base de $\mathbb{R}^2$ . Donner les coordonnées de $u = (3, 5)$ dans $\mathcal{B}$ .

Étape 1 —

Je pose

u = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n

avec

x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}

inconnus.

On cherche $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tels que $(3, 5) = x_1 (1, 1) + x_2 (1, -1)$ .

Étape 2 —

Je traduis l'égalité vectorielle en système linéaire scalaire (par identification dans une base de référence ou par identification des coefficients pour les polynômes/matrices).

Cela donne $x_1 + x_2 = 3$ et $x_1 - x_2 = 5$ .

Étape 3 —

Je résous le système, qui admet une unique solution puisque

\mathcal{B}

est une base.

En sommant : $2 x_1 = 8$ , donc $x_1 = 4$ ; en soustrayant : $2 x_2 = -2$ , donc $x_2 = -1$ .

Étape 4 —

J'écris les coordonnées de

u

dans

\mathcal{B}

(x_1, \ldots, x_n)

Les coordonnées de $u$ dans $\mathcal{B}$ sont $(4, -1)$ .

$u = 4 (1,1) - (1,-1)$ , soit $(4, -1)_{\mathcal{B}}$ .

Application guidée

Soit $\mathcal{B} = (1, X - 1, (X - 1)^2)$ la base de Taylor en $1$ de $\mathbb{R}_2[X]$ . Donner les coordonnées de $P = X^2$ dans $\mathcal{B}$ .

Application autonome 1

Soit $\mathcal{B} = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0))$ une base de $\mathbb{R}^3$ . Donner les coordonnées de $u = (2, 3, 1)$ dans $\mathcal{B}$ .

Application autonome 2

Soit $\mathcal{B} = ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1))$ une base de $\mathbb{R}^3$ . Donner les coordonnées de $u = (2, 3, 1)$ dans $\mathcal{B}$ .

Application autonome 3

Soit $\mathcal{B} = (1, 1 + X, 1 + X + X^2)$ une base de $\mathbb{R}_2[X]$ . Donner les coordonnées de $P = 2 - X + 3 X^2$ dans $\mathcal{B}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

Comment exprimer un vecteur dans une base ? | MetMat