Comment justifier que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ est un estimateur de l'espérance ? | MetMat

Comment justifier que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ est un estimateur de l'espérance ?

En montrant que $\mathbb{E}(\overline{X}_n) = m$ (sans biais) et $\mathbb{V}(\overline{X}_n) = \sigma^2/n \to 0$

Établir que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais et convergent de l'espérance $m$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour un $n$ -échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ de loi $\mathcal{B}(p)$ , montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais et convergent de $p$ .

L'objectif

Établir que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais et convergent de l'espérance $m$ .

Le principe

Si $X$ admet une espérance $m$ et une variance $\sigma^2$ , alors $\mathbb{E}(\overline{X}_n) = m$ (sans biais) et $\mathbb{V}(\overline{X}_n) = \sigma^2/n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$ , ce qui assure la convergence en probabilité de $\overline{X}_n$ vers $m$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ admet une espérance $m$ et une variance $\sigma^2 > 0$ , et $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon de la loi de $X$ .
2
Je calcule l'espérance par linéarité : $\mathbb{E}(\overline{X}_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n m = m$ , donc le biais est nul.
3
Je calcule la variance en utilisant l'indépendance des $X_i$ : $\mathbb{V}(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}$ .
4
Je conclus : $\mathbb{V}(\overline{X}_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$ et $\overline{X}_n$ étant sans biais, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev assure $\overline{X}_n \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathbb{P}} m$ : c'est un estimateur convergent.
Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer $P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])$ ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Pour un $n$ -échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ de loi $\mathcal{B}(p)$ , montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais et convergent de $p$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

X

admet une espérance

m

et une variance

\sigma^2 > 0

, et

(X_1, \dots, X_n)

est un

n

-échantillon de la loi de

X

$X \sim \mathcal{B}(p)$ admet $\mathbb{E}(X) = p$ et $\mathbb{V}(X) = p(1-p)$ ; $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon iid de loi $\mathcal{B}(p)$ .

Étape 2 —

Je calcule l'espérance par linéarité :

\mathbb{E}(\overline{X}_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n m = m

, donc le biais est nul.

$\mathbb{E}(\overline{X}_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n p = p$ , donc $b(\overline{X}_n) = 0$ : sans biais.

Étape 3 —

Je calcule la variance en utilisant l'indépendance des

X_i

\mathbb{V}(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}

$\mathbb{V}(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i) = \frac{n p(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\mathbb{V}(\overline{X}_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0

\overline{X}_n

étant sans biais, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev assure

\overline{X}_n \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathbb{P}} m

: c'est un estimateur convergent.

$\mathbb{V}(\overline{X}_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$ et $\overline{X}_n$ est sans biais : par Bienaymé-Tchebychev, $\overline{X}_n \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathbb{P}} p$ , c'est un estimateur convergent de $p$ .

$\overline{X}_n$ est sans biais et convergent : $\overline{X}_n \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathbb{P}} p$ .

Application guidée

Pour un $n$ -échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ , montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais et convergent de $\lambda$ .

Application autonome 1

Pour un $n$ -échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ , montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais et convergent de $1/\lambda$ .

Application autonome 2

Pour un $n$ -échantillon $(X_1, \ldots, X_n)$ de loi $\mathcal{U}([0, \theta])$ avec $\theta > 0$ , montrer que $2 \overline{X}_n$ est un estimateur sans biais et convergent de $\theta$ .

Application autonome 3

Pour un $n$ -échantillon $(X_1, \ldots, X_n)$ de loi $\mathcal{G}(p)$ avec $p \in\,]0, 1[$ , montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais et convergent de $1/p$ .

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En montrant que E(X‾n)=m\mathbb{E}(\overline{X}_n) = mE(Xn​)=m (sans biais) et V(X‾n)=σ2/n→0\mathbb{V}(\overline{X}_n) = \sigma^2/n \to 0V(Xn​)=σ2/n→0

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant que $\mathbb{E}(\overline{X}_n) = m$ (sans biais) et $\mathbb{V}(\overline{X}_n) = \sigma^2/n \to 0$