Comment instancier l'estimateur du maximum de vraisemblance sur Bernoulli/Poisson ? | MetMat

Comment instancier l'estimateur du maximum de vraisemblance sur Bernoulli/Poisson ?

En écrivant la vraisemblance $L(\theta)$ , en passant au log et en cherchant le point critique

L'objectif

Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) du paramètre d'une loi discrète usuelle (Bernoulli, Poisson).

Le principe

Le principe du maximum de vraisemblance consiste à choisir comme estimation la valeur du paramètre $\theta$ qui rend les observations $(x_1, \dots, x_n)$ les plus probables, en maximisant la vraisemblance $L(\theta) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}_\theta(X_i = x_i)$ ou son logarithme $\ln L(\theta)$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $(X_1, \dots, X_n)$ est un $n$ -échantillon de loi discrète $\mathbb{P}_\theta$ , et j'écris la vraisemblance $L(\theta) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}_\theta(X_i = x_i)$ associée aux observations.
2
Je passe au logarithme pour transformer le produit en somme : $\ell(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_{i=1}^n \ln \mathbb{P}_\theta(X_i = x_i)$ , plus simple à dériver.
3
Je cherche le point critique en résolvant $\ell'(\theta) = 0$ , et je vérifie que $\ell''(\theta) < 0$ pour confirmer le maximum.
4
Je remplace les $x_i$ par les variables $X_i$ pour obtenir l'estimateur $\widehat{\theta}_n$ du maximum de vraisemblance.

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Application guidée 1

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{B}(p)$ avec $p \in ]0,1[$ . Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de $p$ .

Application guidée 2

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ . Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\lambda$ .

Application autonome 1

Sondage : on interroge $n = 1000$ personnes, $S_n = 540$ se déclarent favorables à un candidat. Donner l'estimation par maximum de vraisemblance de la proportion $p$ .

Application autonome 2

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ . Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\lambda$ .

Application autonome 3

Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un $n$ -échantillon de loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ avec $p \in (0, 1)$ . Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de $p$ .

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En écrivant la vraisemblance L(θ)L(\theta)L(θ), en passant au log et en cherchant le point critique

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En écrivant la vraisemblance $L(\theta)$ , en passant au log et en cherchant le point critique