Comment définir un n-échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ d'une loi ? | MetMat

Comment définir un n-échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ d'une loi ?

En posant $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$

Modéliser une expérience répétée $n$ fois en construisant un n-échantillon.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance $n = 100$ fois une pièce de monnaie possiblement biaisée pour estimer la probabilité $p$ d'obtenir pile. Modéliser ce sondage par un $n$ -échantillon.

L'objectif

Modéliser une expérience répétée $n$ fois en construisant un n-échantillon.

Le principe

Un $n$ -échantillon associé à $X$ est un $n$ -uplet $(X_1, \dots, X_n)$ de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, mutuellement indépendantes et de même loi que $X$ .

La méthode

1
J'identifie la variable aléatoire $X$ d'intérêt et la famille de lois $(\mathbb{P}_\theta)_{\theta \in \Theta}$ qui la décrit, avec le paramètre $\theta$ inconnu à estimer.
2
Je pose $X_1, \dots, X_n$ les variables aléatoires associées aux $n$ répétitions indépendantes de l'expérience, en précisant qu'elles sont $\mathbb{P}_\theta$ -indépendantes et de même loi que $X$ pour tout $\theta \in \Theta$ .
3
Je note $(x_1, \dots, x_n)$ la réalisation observée du $n$ -échantillon, qui servira de base aux estimations numériques.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance $n = 100$ fois une pièce de monnaie possiblement biaisée pour estimer la probabilité $p$ d'obtenir pile. Modéliser ce sondage par un $n$ -échantillon.

Étape 1 —

J'identifie la variable aléatoire

X

d'intérêt et la famille de lois

(\mathbb{P}_\theta)_{\theta \in \Theta}

qui la décrit, avec le paramètre

\theta

inconnu à estimer.

Soit $X$ la variable aléatoire valant $1$ si on obtient pile et $0$ sinon. On a $X \sim \mathcal{B}(p)$ avec $p \in ]0,1[$ inconnu.

Étape 2 —

Je pose

X_1, \dots, X_n

les variables aléatoires associées aux

n

répétitions indépendantes de l'expérience, en précisant qu'elles sont

\mathbb{P}_\theta

-indépendantes et de même loi que

X

pour tout

\theta \in \Theta

Je pose $X_1, \dots, X_{100}$ indépendantes et de même loi $\mathcal{B}(p)$ que $X$ , modélisant les $100$ lancers successifs.

Étape 3 —

Je note

(x_1, \dots, x_n)

la réalisation observée du

n

-échantillon, qui servira de base aux estimations numériques.

Les observations $(x_1, \dots, x_{100}) \in \{0,1\}^{100}$ représentent la suite des résultats expérimentaux.

$(X_1, \dots, X_{100})$ est un $100$ -échantillon de loi $\mathcal{B}(p)$ .

Application guidée

Un sondage politique interroge $1000$ électeurs pour estimer la proportion $p$ favorable à un candidat. Définir le $n$ -échantillon adapté.

Application autonome 1

On mesure la durée de vie de $n = 50$ ampoules pour estimer le paramètre $\lambda$ d'une loi exponentielle. Définir le $n$ -échantillon.

Application autonome 2

On interroge $n = 500$ clients d'une chaîne d'hôtels pour estimer la proportion $p$ de clients satisfaits. Modéliser ce sondage par un $n$ -échantillon.

Application autonome 3

Un laboratoire mesure la concentration $X$ (en mg/L) d'une substance dans $n = 30$ échantillons d'eau, supposée suivre $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $(\mu, \sigma^2)$ inconnus. Définir le $n$ -échantillon.

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En posant nnn variables aléatoires indépendantes et de même loi que XXX

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$