En calculant les demi-largeurs moyennes pour un même niveau de confiance fixé

Comparer la précision de deux (ou plusieurs) intervalles de confiance d'un même paramètre estimés à un niveau de confiance commun.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour un échantillon de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ avec $n = 1000$ et $\overline{X}_n = 0{,}5$ , comparer la demi-largeur de l'IC à $95\%$ obtenu par Bienaymé-Tchebychev et par TCL.

L'objectif

Comparer la précision de deux (ou plusieurs) intervalles de confiance d'un même paramètre estimés à un niveau de confiance commun.

Le principe

À niveau de confiance $1 - \alpha$ fixé, plus la demi-largeur d'un IC est petite, plus l'estimation est précise ; on peut donc classer plusieurs IC en comparant leurs demi-largeurs (Bienaymé-Tchebychev donne typiquement un IC plus large que le TCL).

La méthode

1
Je fixe un niveau de confiance commun $1 - \alpha$ pour tous les IC à comparer (typiquement $\alpha = 0{,}05$ ).
2
Pour chaque IC, j'identifie sa demi-largeur (ou rayon) sous la forme $\varepsilon_i = c_i \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ou similaire, en explicitant la dépendance en $n$ et en $\alpha$ .
3
Je calcule numériquement chaque demi-largeur (ou je compare littéralement les coefficients $c_i$ ) et je les classe par ordre croissant : la plus petite correspond à l'IC le plus précis.
4
Je conclus en privilégiant l'IC de plus petite demi-largeur, en commentant éventuellement le coût en hypothèses (TCL exige $n$ grand, IC normal exige loi gaussienne, Bienaymé-Tchebychev ne nécessite que la variance).

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Exercice d'exemple

Pour un échantillon de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ avec $n = 1000$ et $\overline{X}_n = 0{,}5$ , comparer la demi-largeur de l'IC à $95\%$ obtenu par Bienaymé-Tchebychev et par TCL.

Étape 1 —

Je fixe un niveau de confiance commun

1 - \alpha

pour tous les IC à comparer (typiquement

\alpha = 0{,}05

Niveau commun : $1 - \alpha = 0{,}95$ , soit $\alpha = 0{,}05$ .

Étape 2 —

Pour chaque IC, j'identifie sa demi-largeur (ou rayon) sous la forme

\varepsilon_i = c_i \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

ou similaire, en explicitant la dépendance en

n

et en

\alpha

IC Bienaymé-Tchebychev : $\varepsilon_{\mathrm{BT}} = \frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}$ (en majorant $p(1-p) \leq 1/4$ ). IC TCL : $\varepsilon_{\mathrm{TCL}} = t \cdot \frac{\sqrt{\overline{X}_n(1-\overline{X}_n)}}{\sqrt{n}}$ avec $t = 1{,}96$ .

Étape 3 —

Je calcule numériquement chaque demi-largeur (ou je compare littéralement les coefficients

c_i

) et je les classe par ordre croissant : la plus petite correspond à l'IC le plus précis.

Numériquement : $\varepsilon_{\mathrm{BT}} = \frac{1}{2\sqrt{50}} \approx 0{,}0707$ et $\varepsilon_{\mathrm{TCL}} = 1{,}96 \times \frac{0{,}5}{\sqrt{1000}} \approx 0{,}0310$ . On a $\varepsilon_{\mathrm{TCL}} < \varepsilon_{\mathrm{BT}}$ .

Étape 4 —

Je conclus en privilégiant l'IC de plus petite demi-largeur, en commentant éventuellement le coût en hypothèses (TCL exige

n

grand, IC normal exige loi gaussienne, Bienaymé-Tchebychev ne nécessite que la variance).

Le TCL fournit un IC environ $2{,}3$ fois plus précis que Bienaymé-Tchebychev, mais nécessite $n$ grand : ici $n = 1000$ , l'approximation TCL est légitime, on retient l'IC asymptotique.

$\varepsilon_{\mathrm{TCL}} \approx 0{,}031 < \varepsilon_{\mathrm{BT}} \approx 0{,}071$ : l'IC asymptotique est plus précis.

Application guidée

Pour estimer la moyenne $m$ d'une loi $\mathcal{N}(m, \sigma^2)$ avec $\sigma$ connu et $n = 100$ , comparer la demi-largeur de l'IC exact (loi normale) et celle de l'IC asymptotique (TCL).

Application autonome 1

On compare deux sondages : sondage A avec $n_A = 500$ , sondage B avec $n_B = 2000$ . Comparer la demi-largeur de l'IC asymptotique à $95\%$ pour $p$ avec $\overline{X}_n = 0{,}5$ dans les deux cas.

Application autonome 2

Pour un échantillon de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ avec $n = 400$ et $\overline{X}_n = 0{,}6$ , comparer la demi-largeur de l'IC à $95\,\%$ obtenu par Bienaymé-Tchebychev (en majorant $V(X) \leq 1/4$ ) et par TCL.

Application autonome 3

Pour estimer la moyenne $m$ d'une loi $\mathcal{N}(m, 25)$ , on dispose de $n = 100$ observations. Comparer la demi-largeur de l'IC asymptotique à $90\,\%$ et à $99\,\%$ .

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