En posant la relation $\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim E$ pour déduire l'une des dimensions

Déduire la dimension du noyau, du rang ou de l'espace de départ à partir des deux autres données.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ une application linéaire de rang $2$ . Déterminer $\dim \ker(f)$ .

L'objectif

Déduire la dimension du noyau, du rang ou de l'espace de départ à partir des deux autres données.

Le principe

Théorème du rang : pour $f \colon E \to F$ linéaire avec $E$ de dimension finie, $\dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) = \dim E$ .

La méthode

1
Je vérifie que $E$ est de dimension finie et j'identifie $\dim E$ .
2
Je détermine la dimension connue (soit $\dim \ker(f)$ , soit $\mathrm{rg}(f)$ ) par les méthodes adaptées.
3
J'écris la relation $\dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) = \dim E$ et j'isole la dimension cherchée.
4
Je conclus en énonçant la dimension obtenue, et éventuellement les conséquences (injectivité, surjectivité, bijectivité).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ une application linéaire de rang $2$ . Déterminer $\dim \ker(f)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

E

est de dimension finie et j'identifie

\dim E

$E = \mathbb{R}^4$ est de dimension finie, $\dim E = 4$ .

Étape 2 —

Je détermine la dimension connue (soit

\dim \ker(f)

, soit

\mathrm{rg}(f)

) par les méthodes adaptées.

L'énoncé donne $\mathrm{rg}(f) = 2$ .

Étape 3 —

J'écris la relation

\dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) = \dim E

et j'isole la dimension cherchée.

Théorème du rang : $\dim \ker(f) = 4 - 2 = 2$ .

Étape 4 —

Je conclus en énonçant la dimension obtenue, et éventuellement les conséquences (injectivité, surjectivité, bijectivité).

Donc $\dim \ker(f) = 2$ ; $f$ n'est ni injective ( $\ker \neq \{0\}$ ) ni surjective ( $\mathrm{rg} < 3$ ).

$\dim \ker(f) = 2$ .

Application guidée

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $\ker(f) = \mathrm{Vect}((1,1,1))$ . Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ et conclure sur la surjectivité.

Application autonome 1

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}^{n+1}$ , $\varphi(P) = (P(0), P(1), \ldots, P(n))$ . Sachant que $\varphi$ est injective, déterminer $\mathrm{rg}(\varphi)$ et conclure.

Application autonome 2

Soit $f \colon \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3$ une application linéaire dont l'image est de dimension $2$ . Déterminer $\dim \ker(f)$ .

Application autonome 3

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)$ tel que $\ker(f) = \mathrm{Vect}((1, 1, 0, 0),\ (0, 0, 1, 1))$ . Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ et dire si $f$ est surjectif.

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En posant la relation dim⁡ker⁡f+rg f=dim⁡E\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim Edimkerf+rgf=dimE pour déduire l'une des dimensions

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En posant la relation $\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim E$ pour déduire l'une des dimensions