En posant la relation $\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim E$ pour déduire l'une des dimensions

Soit $f \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ une application linéaire de rang $2$. Déterminer $\dim \ker(f)$.

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $\ker(f) = \mathrm{Vect}((1,1,1))$. Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ et conclure sur la surjectivité.

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}^{n+1}$, $\varphi(P) = (P(0), P(1), \ldots, P(n))$. Sachant que $\varphi$ est injective, déterminer $\mathrm{rg}(\varphi)$ et conclure.

Soit $f \colon \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3$ une application linéaire dont l'image est de dimension $2$. Déterminer $\dim \ker(f)$.

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)$ tel que $\ker(f) = \mathrm{Vect}((1, 1, 0, 0),\ (0, 0, 1, 1))$. Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ et dire si $f$ est surjectif.