En exhibant une matrice $P$ inversible telle que $B = P^{-1} A P$

L'objectif

Établir que deux matrices carrées $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sont semblables.

Le principe

$A$ et $B$ sont semblables si et seulement s'il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $B = P^{-1} A P$ ; il suffit d'exhiber explicitement une telle matrice $P$ .

La méthode

1
Je propose une matrice candidate $P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ (souvent suggérée par le contexte ou par une analyse préalable des vecteurs propres).
2
Je vérifie que $P$ est inversible (par calcul de rang ou de déterminant) et je calcule $P^{-1}$ .
3
Je calcule explicitement le produit $P^{-1} A P$ et je vérifie qu'il vaut $B$ .
4
Je conclus que $A$ et $B$ sont semblables, $B = P^{-1} A P$ .

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Application guidée 1

Soient $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.

Application guidée 2

Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $D$ sont semblables.

Application autonome 1

Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $D$ sont semblables.

Application autonome 2

Soient $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $D$ sont semblables.

Application autonome 3

Soient $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $D$ sont semblables.

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En exhibant une matrice PPP inversible telle que B=P−1APB = P^{-1} A PB=P−1AP

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En exhibant une matrice $P$ inversible telle que $B = P^{-1} A P$