En exhibant une matrice $P$ inversible telle que $B = P^{-1} A P$

Établir que deux matrices carrées $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sont semblables.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.

L'objectif

Établir que deux matrices carrées $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sont semblables.

Le principe

$A$ et $B$ sont semblables si et seulement s'il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $B = P^{-1} A P$ ; il suffit d'exhiber explicitement une telle matrice $P$ .

La méthode

1
Je propose une matrice candidate $P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ (souvent suggérée par le contexte ou par une analyse préalable des vecteurs propres).
2
Je vérifie que $P$ est inversible (par calcul de rang ou de déterminant) et je calcule $P^{-1}$ .
3
Je calcule explicitement le produit $P^{-1} A P$ et je vérifie qu'il vaut $B$ .
4
Je conclus que $A$ et $B$ sont semblables, $B = P^{-1} A P$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.

Étape 1 —

Je propose une matrice candidate

P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})

(souvent suggérée par le contexte ou par une analyse préalable des vecteurs propres).

On propose $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

P

est inversible (par calcul de rang ou de déterminant) et je calcule

P^{-1}

$\det(P) = -2 \neq 0$ , donc $P$ est inversible et $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule explicitement le produit

P^{-1} A P

et je vérifie qu'il vaut

B

$AP = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$ et $P^{-1}(AP) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = B$ .

Étape 4 —

Je conclus que

A

B

sont semblables,

B = P^{-1} A P

Donc $A$ et $B$ sont semblables avec $B = P^{-1} A P$ .

$A$ et $B$ semblables via $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $D$ sont semblables.

Application autonome 1

Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $D$ sont semblables.

Application autonome 2

Soient $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $D$ sont semblables.

Application autonome 3

Soient $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ et $D$ sont semblables.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En exhibant une matrice PPP inversible telle que B=P−1APB = P^{-1} A PB=P−1AP

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant une matrice $P$ inversible telle que $B = P^{-1} A P$