En montrant qu'elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes

Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (matrice de $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ dans la base canonique $\mathcal{B}$) et $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$. Sachant que $f(1,1) = (2, 0)$ et $f(1,-1) = (0, 2)$, montrer que $A$ et $B$ ne sont pas semblables (on testera la base $\mathcal{B}' = ((1,1),(1,-1))$ et on identifiera la vraie matrice).

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ la projection sur $\mathrm{Vect}((1,1))$ parallèlement à $\mathrm{Vect}((1,-1))$. Montrer que sa matrice $A$ dans la base canonique et $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ sont semblables.

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ défini par $f(x,y) = (x + 2y,\, 3y)$. Soient $A$ la matrice de $f$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ et $B$ sa matrice dans $\mathcal{B}' = ((1,0),\,(1,1))$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.

Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Montrer que $A$ et $B$ ne sont pas semblables.

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ défini par $f(x, y) = (3x + y, x + 3y)$. Montrer que sa matrice $A$ dans la base canonique et $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ sont semblables.